Con las leyes de los logaritmos naturales, podemos simplificar expresiones logarítmicas y reescribirlas en formas más convenientes. Tenemos once leyes principales de los logaritmos naturales. Con estas once leyes, podemos expandir logaritmos naturales, condensarlos y resolver ecuaciones logarítmicas. A pesar de que estas leyes están especificadas para logaritmos naturales, las leyes de los logaritmos aplican para logaritmos de cualquier base.
A continuación, conoceremos las once leyes principales de los logaritmos. Además, resolveremos algunos ejercicios de logaritmos para aplicar estas leyes.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Conocer las leyes de los logaritmos naturales y resolver ejercicios.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Conocer las leyes de los logaritmos naturales y resolver ejercicios.
¿Cuáles son las leyes de los logaritmos naturales?
Recordemos que un logaritmo natural es un logaritmo con base e. El número e es denominado la constante natural y tiene un valor aproximado de 2.71828. El logaritmo natural es denotado como ln. El número e tiene muchas aplicaciones en varias áreas como matemáticas, economía, entre otros.
Debido a que e aparece en muchas áreas, muchas personas necesitan calcular el logaritmo con una base de e frecuentemente, por lo que hubo la necesidad de crear un atajo con el logaritmo natural y definirlo como un logaritmo con base e.
Las siguientes son las leyes más importantes de los logaritmos naturales:
1. Ley del producto
Si es que tenemos un logaritmo natural de un producto, podemos escribirlo como la suma de los logaritmos de cada factor separadamente:
2. Ley del cociente
Si es que tenemos un logaritmo natural de un cociente, podemos reescribirlo como el logaritmo natural del numerador menos el logaritmo natural de denominador:
3. Ley de la potencia
El logaritmo natural de un argumento exponencial, puede ser reescrito como el exponente multiplicado por el logaritmo de la base (sin el exponente):
4. Ley del logaritmo del recíproco
El logaritmo natural del recíproco de x es el opuesto del logaritmo natural de x:
5. Ley del logaritmo natural del 1
El logaritmo natural de 1 es igual a cero:
6. Ley del logaritmo natural de e
El logaritmo natural del número natural, e, es igual a 1:
7. Ley del logaritmo natural de cero
El logaritmo natural del cero está indefinido:
8. Ley del logaritmo natural de un número negativo
El logaritmo natural de un número negativo también está indefinido.
9. Ley del logaritmo natural de infinito
El logaritmo natural de infinito es igual a infinito:
10. Ley del logaritmo natural de e exponencial
El logaritmo natural de e exponencial es igual al exponente de e:
11. Ley de e al logaritmo natural
El número e elevado al logaritmo natural de un número es igual al número:
Ejercicios de leyes de los logaritmos naturales resueltos
Los siguientes ejercicios usan las leyes de los logaritmos naturales descritas arriba. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Simplifica la siguiente expresión: $latex \ln(8)+\ln(10)$.
Solución
Tenemos una suma de logaritmos, por lo que podemos aplicar la ley del producto para simplificar:
$latex \ln(8)+\ln(10)=\ln(8\times 10)$
$latex =\ln(80)$
Podemos dejar al logaritmo en esa forma o resolviéndolo, tenemos
$latex \ln(80)\approx 4.382$
EJERCICIO 2
Simplifica la expresión logarítmica: $latex \ln(72)-\ln(3)$.
Solución
En este caso, tenemos una resta de logaritmos naturales, por lo que podemos aplicar la ley del cociente:
$latex \ln(72)-\ln(3)=\ln(\frac{72}{3})$
$latex =\ln(24)$
Podemos dejar al logaritmo natural así o podemos aplicarlo:
$latex \ln(24)\approx 3.178$
EJERCICIO 3
¿Cuál es el valor de $latex \ln({{e}^{15}})$?
Solución
Aquí, podemos usar la ley del logaritmo natural de e exponencial. Esta ley nos dice que cuando tenemos el logaritmo natural de e elevado a un exponente, esto es equivalente al exponente:
$latex \ln({{e}^{15}})=15$
EJERCICIO 4
Simplifica la siguiente expresión $latex \ln(100)-\ln(5)+\ln(4)$.
Solución
En esta expresión, tenemos restas y sumas de logaritmos naturales. Podemos formar un solo logaritmo al aplicar tanto la ley del cociente como la ley del producto. Entonces, tenemos:
$latex \ln(100)-\ln(5)+\ln(4)=\ln(\frac{100 \times 4}{5})$
$latex =\ln(\frac{400}{5})$
$latex =\ln(80)$
Ahora, podemos dejar al logaritmo así o podemos calcularlo para obtener:
$latex \ln(80)\approx 4.382$
EJERCICIO 5
Simplifica la expresión: $latex 2\ln(5)+\ln(40)-3\ln(10)$.
Solución
Empezamos usando la ley de la potencia para reescribir a los logaritmos naturales.
$latex 2\ln(5)+\ln(40)-3\ln(10)$
$latex =\ln({{5}^2})+\ln(40)-\ln({{10}^3})$
$latex =\ln(25)+\ln(40)-\ln(1000)$
Ahora, podemos usar la ley del producto y la ley del cociente para obtener un solo logaritmo
$latex =\ln(\frac{25\times 40}{1000})$
$latex =\ln(1)$
Finalmente, aplicamos la ley del logaritmo natural del 1 para resolver:
$latex \ln(1)=0$
EJERCICIO 6
Escribe la versión expandida del logaritmo natural: $latex\ln({{e}^3}{{x}^3}{{y}^4})$.
Solución
Podemos aplicar la ley del producto para separar a los factores y formar una suma de logaritmos naturales:
$latex \ln({{e}^3}{{x}^3}{{y}^4})=\ln({{e}^3})+\ln({{x}^3})+\ln({{y}^4})$
Ahora, podemos usar la ley de la potencia para reescribir a los exponentes como una multiplicación de cada logaritmo individual:
$latex =3\ln(e)+3\ln(x)+4\ln(y)$
$latex =3(1)+3\ln(x)+4\ln(y)$
$latex =3+3\ln(x)+4\ln(y)$
Ejercicios de leyes de los logaritmos naturales para resolver
Pon a prueba tu conocimiento sobre las leyes de los logaritmos naturales resolviendo los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda, puedes mirar la lista de leyes de los logaritmos naturales o los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre logaritmos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
