Los binomios al cubo pueden tener la forma de una suma de cubos o una diferencia de cubos. Estos binomios pueden ser factorizados fácilmente usando fórmulas generales. El proceso usado para factorizar ambos binomios es similar con un simple cambio en los signos de la expresión final.

A continuación, haremos una revisión del proceso usado para obtener la factorización de binomios al cubo. Además, veremos varios ejercicios resueltos para entender la aplicación de ese proceso.

ÁLGEBRA
factorización de diferencia de cubos

Relevante para

Aprender sobre la factorización de binomios al cubo con ejercicios.

Ver ejercicios

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factorización de diferencia de cubos

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Factorizar la suma y diferencia de cubos

Podemos tener dos tipos de binomios al cubo, una diferencia o una suma. La suma de cubos es una expresión con la forma general {{a}^3}+{{b}^3} y una diferencia de cubos es una expresión con la forma general {{a}^3}-{{b}^3}.

Para factorizar a binomios al cubo, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Factorizar el factor común de los términos si es que existe para obtener una expresión más simple. No debemos olvidar incluir al factor común en la respuesta final.

Paso 2: Tenemos que reescribir a la expresión como una suma o diferencia de dos cubos perfectos.

Paso 3: Podemos escribir la respuesta usando las siguientes frases:

a) “Escribe lo que ves”

b) “Eleva al cuadrado – Multiplica – Eleva al cuadrado”

c) Si es que es una suma de cubos, tenemos los signos “Positivo, Negativo, Positivo” y si es que es una diferencia de cubos, tenemos los signos “Negativo, Positivo, Positivo”

Paso 4: Unimos las partes resultantes para obtener la expresión final factorizada.


Ejercicios de factorización de binomios al cubo resueltos

Los siguientes ejercicios de factorización de binomios al cubo aplican el proceso de resolución detallado arriba. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Factoriza al binomio {{x}^3}+8.

Paso 1: No tenemos ningún factor común para factorizar, por lo que no podemos simplificar.

Paso 2: Tenemos que reescribir al problema original como una suma de dos cubos perfectos:

⇒  {{(x)}^3}+{{(2)}^3}

Paso 3: a) Si es que ignoramos los paréntesis y los cubos, vemos a la expresión:

x+2

b) Al elevar al cuadrado al primer término, x, obtenemos {{x}^2}. Al multiplicar los términos x y 2, obtenemos 2xAl elevar al cuadrado al segundo término, 2, tenemos 4.

{{x}^2},~~2x,~~4

c) Esta es una suma de binomios al cubo, por lo que los signos son “Positivo, Negativo, Positivo”.

Paso 4: La expresión factorizada es:

(x+2)({{x}^2}-2x+4)

EJERCICIO 2

Factoriza la expresión {{x}^3}-27.

Paso 1: Aquí, tampoco tenemos factores comunes, por lo que no podemos factorizar inicialmente.

Paso 2: Ahora, escribimos al problema original como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  {{(x)}^3}-{{(3)}^3}

Paso 3: a) Si eliminamos los paréntesis y los cubos, vemos a la expresión:

x-3

b) Elevando al cuadrado al primer término, x, tenemos {{x}^2}. Multiplicando a los términos x y 3, tenemos 3xElevando al cuadrado al segundo término, 3, tenemos 9.

{{x}^2},~~3x,~~9

c) Esta es una diferencia de cubos, por lo que los signos que tenemos que usar son “Negativo, Positivo, Positivo”.

Paso 4: La expresión factorizada es:

(x-3)({{x}^2}+3x+9)

EJERCICIO 3

Obtén la factorización de la suma de cubos 8{{x}^3}+125.

Paso 1: No podemos factorizar esta expresión inicialmente, ya que no hay factores comunes.

Paso 2: Podemos reescribir a la expresión como una suma de dos cubos perfectos:

⇒  {{(2x)}^3}-{{(5)}^3}

Paso 3: a) Si ignoramos los paréntesis y los cubos, tenemos la expresión:

2x-5

b) Si es que elevamos al cuadrado al primer término, 2x, tenemos 4{{x}^2}. Si es que multiplicamos a los términos 2x y 5, tenemos 10xSi es que elevamos al cuadrado al segundo término, 5, tenemos 25.

4{{x}^2},~~10x,~~25

c) Para una suma de cubos, debemos usar los signos “Positivo, Negativo, Positivo”.

Paso 4: La expresión factorizada es:

(2x+5)(4{{x}^2}-10x+25)

EJERCICIO 4

Factoriza la diferencia de cubos 27{{x}^3}-216{{y}^3}.

Paso 1: No podemos factorizar inicialmente porque no tenemos factores comunes.

Paso 2: Escribimos a la expresión como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  {{(3x)}^3}-{{(6y)}^3}

Paso 3: a) Al eliminar paréntesis y cubos, tenemos la expresión:

3x-6y

b) Elevando al cuadrado al primer término, 3x, tenemos 9{{x}^2}. Al multiplicar a los términos 3x y 6y, obtenemos 18xySi es que elevamos al cuadrado al segundo término, 6y, obtenemos 36{{y}^2}.

9{{x}^2},~~18xy,~~36{{y}^2}

c) Para una diferencia de cubos, tenemos los signos “Negativo, Positivo, Positivo”.

Paso 4: La expresión factorizada final es:

(3x-6y)(9{{x}^2}+18xy+36{{y}^2})

EJERCICIO 5

Factoriza la suma de cubos 54{{x}^3}+16{{y}^3}.

Paso 1: Aquí sí tenemos un factor común, el 2. Podemos extraer el 2 de ambos términos:

2(27{{x}^3}+8{{y}^3})

Paso 2: Ahora, podemos escribir a la expresión como una suma de dos cubos perfectos:

⇒  2({{(3x)}^3}+{{(2y)}^3})

Paso 3: a) Si es que ignoramos los paréntesis y los cubos, tenemos:

3x+2y

b) El primer término, 3x, al cuadrado es igual a 9{{x}^2}. El producto de los términos 3x y 2es 6xyEl cuadrado del segundo término, 2y, es 4{{y}^2}.

9{{x}^2},~~6xy,~~4{{y}^2}

c) Para una suma de cubos, tenemos los signos “Positivo, Negativo, Positivo”.

Paso 4: Obtuvimos la siguiente factorización:

2(3x+2y)(9{{x}^2}-6xy+4{{y}^2})

EJERCICIO 6

Obtén la factorización de 8-27{{x}^3}{{y}^3}.

Paso 1: No tenemos ningún factor común en los términos.

Paso 2: Si es que reescribimos a la expresión como una diferencia de dos cubos perfectos, tenemos:

⇒  {{(2)}^3}-{{(3xy)}^3}

Paso 3: a) Si es que eliminamos los paréntesis e ignoramos los cubos, vemos a la expresión:

2-3xy

b) El primer término, 1, al cuadrado es 8. El producto de los términos 2 y 3xy es 6xyEl segundo término, 3xy al cuadrado es 9{{x}^2}{{y}^2}.

8,~~6xy,~~9{{x}^2}{{y}^2}

c) Para una diferencia de cubos, los signos son “Negativo, Positivo, Positivo”.

Paso 4: La expresión factorizada es:

(2-3xy)(8+6xy+9{{x}^2}{{y}^2})

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Ejercicios de factorización de binomios al cubo para resolver

Practica lo aprendido sobre factorización de binomios al cubo con los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos que se muestran arriba.

Factoriza la suma de cubos {{x}^3}+125.

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Factoriza la diferencia de cubos 125{{x}^3}-27.

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Factoriza la suma de cubos 64{{x}^3}+343{{y}^3}.

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Factoriza la expresión 2{{x}^3}-128{{y}^3}.

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Véase también

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