Para resolver exponentes negativos con fracciones, tenemos que usar tanto la regla de exponentes negativos como la regla de exponentes fraccionarios. Miraremos el proceso que puede ser usado para simplificar expresiones que tienen exponentes negativos con fracciones junto con varios ejemplos para mejorar el entendimiento.

ÁLGEBRA
exponentes negativos con fracciones

Relevante para

Aprender cómo simplificar expresiones que tienen exponentes negativos con fracciones.

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exponentes negativos con fracciones

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¿Cómo se calculan las potencias de exponente negativo?

Para calcular potencias de exponentes negativos, tenemos que recordar que un exponente negativo simplemente significa que la base está en el lado opuesto de la fracción, por lo que necesitamos dar la vuelta a la fracción para que la base este del otro lado.

La regla de exponentes negativos nos dice que:

regla de exponentes negativos

EJEMPLO 1

  • Simplifica a la expresión {{3}^{{-2}}}.

Solución:  Sabemos que el exponente negativo significa que la base pertenece al otro lado de la fracción. Pero vemos que no hay una línea de fracción. Sin embargo, sabemos que esto puede ser escrito como una fracción con denominador 1.

Entonces, empezamos convirtiendo a la expresión en una fracción en la manera en que todas las expresiones pueden ser convertidas en fracciones: al ponerla sobre el 1. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

{{3}^{{-2}}}=\frac{{{{3}^{{-2}}}}}{1}=\frac{1}{{{{3}^{2}}}}=\frac{1}{9}

EJEMPLO 2

  • Escribe a {{x}^{{-3}}} usando solo exponentes positivos.

Solución:  Nuevamente, sabemos que debemos cambiar la base al otro lado de la fracción y cambiar el exponente de negativo a positivo. Formamos una fracción al poner a la expresión sobre el 1.

Entonces, empezamos convirtiendo a la expresión en fracción en donde el denominador es el 1 y luego simplificamos. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

{{x}^{{-3}}}=\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{1}=\frac{1}{{{{x}^{3}}}}


¿Cómo se resuelve una fracción con exponentes negativos?

Las fracciones con exponentes negativos en el numerador pueden ser simplificadas al cambiar los términos de exponentes negativos del numerador al denominador y volverlos positivos. Las fracciones con exponentes negativos en el denominador pueden ser simplificadas al cambiar los términos con exponentes negativos del denominador al numerador y volverlos positivos.

Entonces, tenemos {{x}^{{-n}}}=\frac{1}{{{{x}^{n}}}}\frac{1}{{{{x}^{{-n}}}}}={{x}^{n}}. Esto significa que un exponente negativo es igual al recíproco de un exponente positivo.

EJEMPLO 1

  • Simplifica la fracción \frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}}.

Solución: Podemos aplicar la regla de exponentes negativos separadamente al numerador y al denominador y luego simplificamos la expresión resultante. Entonces, tenemos:

\frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}}=\frac{1}{{{{4}^{2}}}}\times \frac{{{{8}^{2}}}}{1}

=\frac{{{{8}^{{2}}}}}{{{{4}^{{2}}}}}

=\frac{64}{16}

=4

Entonces, encontramos que \frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}} es equivalente a 4.

EJEMPLO 2

  • Simplifica la fracción \frac{{3{{x}^{{-2}}}y}}{{xy}}.

Solución: En este caso, sólo la expresión {{{x}^{{-2}}}} tiene un exponente negativo. Entonces, cambiamos esa expresión del numerador al denominador y la volvemos positiva:

\frac{{3{{x}^{{-2}}}y}}{{xy}}=\frac{{3y}}{{{{x}^{2}}\left( {xy} \right)}}

=\frac{{3y}}{{{{x}^{3}}y}}

Ahora cancelamos los términos semejantes tanto en el numerador como en el denominador:

\frac{{3y}}{{{{x}^{3}}y}}=\frac{{3}}{{{{x}^{3}}}}


¿Cómo resolver exponentes negativos con fracciones?

Para resolver exponentes negativos con fracciones, necesitamos recordar la regla de exponentes fraccionarios, la cual nos permite relacionar potencias y raíces:

regla de los exponentes fraccionarios

Entonces, cuando tenemos exponentes negativos con fracciones, empezamos aplicando la regla de exponentes negativos y luego aplicamos la regla de los exponentes fraccionarios.

EJEMPLO 1

  • Simplifica la fracción \frac{{{{4}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{6}^{{-2}}}}}.

Solución: En el numerador tenemos un exponente negativo fraccionario y en el denominador tenemos un exponente negativo. Entonces, empezamos aplicando la regla de los exponentes negativos:

\frac{{{{4}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{6}^{{-2}}}}}=\frac{{{{6}^{2}}}}{{{{4}^{{\frac{1}{2}}}}}}

Ahora tenemos exponentes positivos tanto en el numerador como en el denominador, pero tenemos un exponente fraccionario en el denominador, por lo que aplicamos la regla de exponentes fraccionarios allí:

=\frac{{{{6}^{2}}}}{{\sqrt{4}}}

Ahora resolvemos los exponentes y simplificamos:

=\frac{{36}}{2}

=18

EJEMPLO 2

  • Simplifica la expresión \frac{{{{x}^{{-\frac{3}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}}}.

Solución: Todos los exponentes son negativos, por lo que empezamos aplicando la regla de los exponentes negativos:

\frac{{{{x}^{{-\frac{3}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}}}=\frac{{{{{16}}^{{\frac{1}{4}}}}{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{x}^{{\frac{3}{2}}}}}}

Ahora tenemos exponentes positivos en el numerador y en el denominador. Podemos aplicar la regla de exponentes fraccionarios:

=\frac{{\sqrt[4]{{16}}\sqrt{y}}}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}}}

Ahora simplificamos:

=\frac{{2~\sqrt{y}}}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}}}


Fracciones con exponentes negativos ejercicios resueltos

EJEMPLO 1

  • Simplifica la expresión \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}.

Solución: Esta expresión sólo tiene el denominador con un exponente negativo. Entonces, cambiamos el denominador al numerador con un exponente positivo:

\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}=\frac{{{{x}^{2}}{{x}^{3}}}}{1}

Ahora sólo tenemos exponentes positivos y podemos aplicar la regla del producto de exponentes para simplificar:

={{x}^{{2+3}}}={{x}^{5}}

EJEMPLO 2

  • Simplifica la expresión \frac{{{{{25}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}}}.

Solución: En este caso tenemos exponentes negativos fraccionarios. Entonces, empezamos aplicando la regla de los exponentes negativos para cambiar del numerador al denominador y viceversa y cambiar de negativo a positivo:

\frac{{{{{25}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}}}=\frac{{{{{16}}^{{\frac{1}{4}}}}}}{{{{{25}}^{{\frac{1}{2}}}}}}

Ahora tenemos exponentes positivos tanto en el numerador como en el denominador. Entonces, podemos aplicar la regla de exponentes fraccionarios para formar radicales:

=\frac{{\sqrt[4]{{16}}}}{{\sqrt{{25}}}}

Finalmente, calculamos los radicales:

=\frac{2}{5}

EJEMPLO 3

  • Escribe a la expresión {{\left( {\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{{{{y}^{{-2}}}}}} \right)}^{{-2}}} sólo con exponentes positivos.

Solución: Empezamos observando que tenemos un exponente negativo fuera de los paréntesis. Esto significa que el numerador debe ser movido abajo y el denominador debe ser movido arriba. Es decir, debemos darle la vuelta a la fracción que está dentro del paréntesis:

{{\left( {\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{{{{y}^{{-2}}}}}} \right)}^{{-2}}}={{\left( {\frac{{{{y}^{{-2}}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}} \right)}^{2}}

Ahora que tenemos un exponente positivo, usamos la regla de la potencia de una potencia para aplicar el exponente separadamente al numerador y al denominador:

=\frac{{{{{\left( {{{y}^{{-2}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left( {{{x}^{{-3}}}} \right)}}^{2}}}}

=\frac{{{{y}^{{-4}}}}}{{{{x}^{{-6}}}}}

Finalmente, usamos la regla de exponentes negativos nuevamente y le damos la vuelta a la fracción:

=\frac{{{{x}^{6}}}}{{{{y}^{4}}}}

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Simplifica la expresión \frac{{{x}^{-3}}}{{{x}^2}}.

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Simplifica la expresión \frac{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{27}}^{{-\frac{1}{3}}}}}}.

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Simplifica la expresión 4\left( \frac{{{64}^{-2}}}{{{4}^{-2}}}\right).

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