Sucesiones Aritméticas – Ejercicios Resueltos y para Resolver

Primero, tenemos que encontrar la diferencia común de cada par de números consecutivos:

• $latex 15-11=4$
• $latex 11-7=4$
• $latex 7-3=4$

Entonces, la diferencia común es 4. Para encontrar el siguiente término después del 15, simplemente tenemos que sumar 4 al 15. Por lo tanto, tenemos $latex 15+4=19$.

Empezamos encontrando la diferencia común:

• $latex 13-18=-5$
• $latex 18-23=-5$
• $latex 23-28=-5$

En este caso, obtuvimos una diferencia común negativa. Para encontrar el siguiente término, solo tenemos que sumar esta diferencia al último término. Entonces, tenemos $latex 13+(-5)=8$.

A primera vista, tal vez pensemos que tenemos una diferencia común negativa, ya que tenemos números negativos, pero tenemos que recordar que cuando la sucesión está creciendo, la diferencia común es positiva:

• $latex -5-(-9)=4$
• $latex -9-(-13)=4$
• $latex -13-(-17)=4$

Vemos que la diferencia común es 4 positivo debido a que la sucesión geométrica está creciendo. Podemos obtener los siguientes dos términos al sumar la diferencia común al último término:

$latex -5+4=-1$

$latex -1+4=3$

Empezamos escribiendo la información dada:

• Primer término: $latex a_{1}=8$
• Diferencia común: $latex d=2$
• Posición del término: $latex n=10$

Ahora, podemos usar la fórmula de las sucesiones aritméticas con la información dada:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{10}=8+(10-1)2$

$latex a_{10}=8+(9)2$

$latex a_{10}=8+18$

$latex a_{10}=26$

Tenemos los siguientes valores:

• Primer término: $latex a_{1}=12$
• Diferencia común: $latex d=-5$
• Posición del término: $latex n=8$

Usando la fórmula del término n con los valores dados, tenemos:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{8}=12+(8-1)(-5)$

$latex a_{8}=12+(7)(-5)$

$latex a_{8}=12-35$

$latex a_{8}=-23$

En este caso, tenemos que usar la fórmula de sucesiones aritméticas $latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. Para usar esta fórmula, tenemos que conocer el primer término, la diferencia común y la posición del término que queremos encontrar:

• Primer término: $latex a_{1}=3$
• Diferencia común: $latex d=3$
• Posición del término: $latex n=26$

Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula y resolvemos:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{26}=3+(26-1)3$

$latex a_{26}=3+(25)3$

$latex a_{26}=3+75$

$latex a_{26}=78$

Tenemos que encontrar el primer término, la diferencia común y la posición del término para reemplazar en la fórmula de sucesiones aritméticas:

• Primer término: $latex a_{1}=15$
• Diferencia común: $latex d=-7$
• Posición del término $latex n=22$

Reemplazamos estos valores en la fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{22}=15+(22-1)(-7)$

$latex a_{22}=15+(21)(-7)$

$latex a_{22}=15-147$

$latex a_{22}=-132$

En este caso, tenemos números fraccionarios, pero similar a los problemas anteriores, solo tenemos que encontrar los diferentes valores para reemplazar en la fórmula de sucesiones aritméticas:

• Primer término: $latex \frac{5}{2}$
• Diferencia común: $latex \frac{1}{2}$
• Posición del término: $latex n=16$

Ahora, usamos la fórmula con estos valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+(16-1)\frac{1}{2}$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+(15)\frac{1}{2}$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+\frac{15}{2}$

$latex a_{16}=10$

No conocemos ni el valor del primer término, ni el valor de la diferencia común. Sin embargo, podemos encontrar el valor de la diferencia común considerando que es un valor constante.

Entonces, restamos a los valores de los términos y dividimos por la diferencia de sus posiciones:

$$d=\frac{19-10}{6-3}=\frac{9}{3}=3$$

Ahora, podemos usar la fórmula del término n al considerar al término 6 como el primer término. Entonces, el término 10 es ahora el término 5 y el valor de n es 5:

• Primer término: 19
• Diferencia común: 3
• Posición del término: 5

Ahora, usamos la fórmula con estos valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{4}=19+(5-1)3$

$latex a_{4}=19+(4)3$

$latex a_{4}=19+12$

$latex a_{4}=31$

Este término es el término 10 de la sucesión inicialmente dada.

Similar al ejercicio anterior, encontramos la diferencia común al dividir a la diferencia de los valores de los términos por la diferencia en sus posiciones:

$$d=\frac{-10-5}{7-4}=\frac{-15}{3}=-5$$

Ahora, consideramos al término 7 como el término 1, por lo que ahora el término 14 es el término 8:

• Primer término: -10
• Diferencia común: -5
• Posición del término: 6

Ahora, usamos la fórmula con estos valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{6}=-10+(8-1)(-5)$

$latex a_{6}=-10+(7)(-5)$

$latex a_{6}=-10-35$

$latex a_{6}=-45$