Ejercicios de restas de fracciones algebraicas resueltos

Podemos restar dos o más fracciones algebraicas homogéneas al usar un solo denominador y restar sus numeradores. Si es que las fracciones algebraicas son heterogéneas, tenemos que empezar encontrando su mínimo común denominador para escribir fracciones homogéneas equivalentes.

A continuación, aprenderemos veremos algunos ejercicios de restas de fracciones algebraicas. También, veremos ejercicios prácticos para aplicar lo aprendido.

ÁLGEBRA
Resta de fracciones algebraicas

Relevante para

Resolver ejercicios de restas de fracciones algebraicas.

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ÁLGEBRA
Resta de fracciones algebraicas

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Ejercicios resueltos de restas de fracciones algebraicas

EJERCICIO 1

Hallar la resta de las siguientes fracciones: $latex \frac{a}{b}-\frac{c}{b}$.

Notamos que en este caso ambas fracciones tienen el mismo denominador $latex b$. Es decir, se trata de dos fracciones con denominador común $latex b$.

Como se trata de fracciones con denominador común, la fracción resultante será la resta de los numeradores dividida entre el denominador común, que en este ejercicio es $latex b$.

$$\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a – c}{b}$$

El resultado es:

$$ \frac{a – c}{b}$$

EJERCICIO 2

Encuentra la diferencia entre $latex \frac{3x}{5}$ y la fracción $latex \frac{2x}{5}$.

Planteamos la operación a realizar:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5}$$

Notamos nuevamente que se trata de la resta de dos fracciones con denominador común 5.

La fracción resultante se obtiene tomando la resta de los numeradores y dividiendo entre el denominador común:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5} = \frac{3x – 2x}{5}$$

$$ = \frac{x}{5}$$

El resultado es:

$$\frac{x}{5}$$

EJERCICIO 3

Considere la fracción algebraica $latex \frac{2x}{y}$ y la fracción algebraica $latex \frac{x}{z}$. Encuentre la fracción que resulta de la resta de las fracciones dadas.

A diferencia de los ejercicios anteriores, las dos fracciones dadas tienen denominadores diferentes.

El mínimo denominador común (m.c.d.) de ambas es $latex yz $.

Si multiplicamos numerador y denominador de la primera de las fracciones por z se tiene la fracción equivalente a la original:

$$ \frac{2xz}{yz}$$

Similarmente, multiplicando numerador y denominador de la segunda por y se obtiene la fracción equivalente:

$$ \frac{xy}{zy}$$

Restamos las fracciones equivalentes:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{zy}$$

Como $latex yz = zy$ la expresión anterior es equivalente a:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}$$

Tenemos ahora la resta de dos fracciones con denominador común yz. La fracción resultante es la resta de los numeradores, dividida entre el denominador común.

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}= \frac{2xz – xy}{yz}$$

El resultado es:

$$\frac{2xz – xy}{yz}$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es el resultado de $latex \frac{2x}{3} – \frac{x}{2}$?

Se trata de la diferencia de dos fracciones de distinto denominador. Su mínimo común denominador es 3×2=6.

Entonces se sigue el siguiente procedimiento para obtener la resta de dos fracciones equivalentes a las originales, pero con el denominador igual para ambas:

  • Multiplicamos tanto al numerador, como al denominador de la primera fracción por 2 para obtener $latex \frac{4x}{6}$.
  • Multiplicamos tanto al numerador, como al denominador de la segunda fracción por 3 para obtener $latex \frac{3x}{6}$.

Ahora, tenemos lo siguiente:

$$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}= \frac{4x}{6}-\frac{3x}{6}$$

$$ = \frac{4x-3x}{6}$$

$$ = \frac{x}{6}$$

El resultado es: $latex \frac{x}{6}$

EJERCICIO 5

Hallar la fracción resultante de la siguiente operación de resta:

$$ \frac{a-2}{6} – \frac{3a+2}{4}$$

Los denominadores son: 6 y 4, es decir 2×3 y 2×2. Esto significa que su mínimo común denominador es 12 (comunes y no comunes con su mayor exponente).

$$ \frac{a-2}{6} – \frac{3a+2}{4} = \frac{2(a-2)}{12}-\frac{3(3a+2)}{12}$$

$$= \frac{2a-4}{12} – \frac{9a+6}{12}$$

$$= \frac{(2a-4)-(9a+6)}{12} $$

$$= \frac{2a-4-9a-6}{12}$$

$$=\frac{-7a-10}{12}$$

$$= – \frac{7a+10}{12}$$

El resultado es: $latex – \frac{7a+10}{12}$

EJERCICIO 6

De la fracción $latex \frac{2}{x-4}$ restar la fracción $latex \frac{1}{x-3}$.

Son fracciones de denominadores no comunes. Se aplicará el siguiente procedimiento, al cual llamaremos multiplicar en cruz:

Para hallar el numerador resultante, se multiplica el numerador del primero por el denominador del segundo MENOS el denominador del primero por el numerador del segundo.

El denominador resultante es, el producto de los denominadores.

$$ \frac{2}{x-4} – \frac{1}{x-3} = \frac{2(x-3) – 1(x-4)}{(x-4)(x-3)}$$

$$ = \frac{2x-6-x+4}{(x-4)(x-3)} $$

El resultado es:

$$ \frac{x-2}{(x-4)(x-3)} $$

EJERCICIO 7

Restar las siguientes fracciones:

$$ \frac{m-n}{m+n} – \frac{m+n}{m-n}$$

El resultado es:

$$ \frac{(m-n)^2 – (m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$$

Si se desarrollan los factores se obtiene un resultado equivalente:

$$ =\frac{m^2-2mn+n^2-m^2-2mn-n^2}{m^2-mn+nm-n^2}$$

$$= \frac{-4mn}{m^2-n^2}$$

EJERCICIO 8

Resolver la siguiente diferencia de fracciones:

$$\frac{x-1}{4x+4} – \frac{x+2}{8x-8}$$

Si se multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción por el valor 2 se tiene una resta de fracciones con denominador común:

$$\frac{2x-2}{8x+8} – \frac{x+2}{8x-8}$$

La fracción resultante tendrá como numerador, la diferencia de numeradores, y como denominador el denominador común:

$$=\frac{(2x-2) – (x+2)}{8x+8}$$

Desarrollando el numerador:

$$=\frac{(2x-2-x-2)}{8x+8}$$

$$=\frac{(x-4)}{8x+8}$$

El resultado es:

$$\frac{(x-4)}{8(x+1)}$$

EJERCICIO 9

Efectuar la siguiente resta de fracciones:

$$\frac{a}{a^2-1} -\frac{a+1}{(a-1)^2}$$

Para hallar la solución aplicaremos el método de multiplicar en X explicado en el ejercicio 6.

$$\frac{a(a-1)^2 – (a^2-1)(a+1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

El resultado anterior se puede considerar la respuesta; sin embargo, si se desarrollan y se simplifican los factores del numerador, puede obtenerse un resultado alternativo:

$$=\frac{a(a^2-2a+1) – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – a^3-a^2+a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

que se simplifica al siguiente resultado

$$=\frac{-3a^2+2a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

EJERCICIO 10

Restar $latex \frac{3}{x-1} – \frac{2}{x+1}$

Aplicaremos el método de multiplicar en cruz (X) explicado en el ejercicio 6.

$$ \frac{3}{x-1} – \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

Ahora desarrollamos el numerador y simplificamos hasta donde sea posible:

$$ =\frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)}$$

El resultado final es:

$$ =\frac{(x+5)}{(x-1)(x+1)}$$


Ejercicios de resta algebraica para resolver

Práctica de resta de fracciones algebraicas
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¿Cuál es el numerador de la fracción resultante al resolver lo siguiente? $$\frac{4}{x+6} -\frac{2}{x+7} $$

Escribe el numerador en la casilla.

$latex =$

Véase también

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