Restas de fracciones algebraicas – Ejercicios resueltos

Notamos que en este caso ambas fracciones tienen el mismo denominador $latex b$. Es decir, se trata de dos fracciones con denominador común $latex b$.

Como se trata de fracciones con denominador común, la fracción resultante será la resta de los numeradores dividida entre el denominador común, que en este ejercicio es $latex b$.

$$\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a – c}{b}$$

El resultado es:

$$ \frac{a – c}{b}$$

Planteamos la operación a realizar:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5}$$

Notamos nuevamente que se trata de la resta de dos fracciones con denominador común 5.

La fracción resultante se obtiene tomando la resta de los numeradores y dividiendo entre el denominador común:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5} = \frac{3x – 2x}{5}$$

$$ = \frac{x}{5}$$

El resultado es:

$$\frac{x}{5}$$

A diferencia de los ejercicios anteriores, las dos fracciones dadas tienen denominadores diferentes.

El mínimo denominador común (m.c.d.) de ambas es $latex yz $.

Si multiplicamos numerador y denominador de la primera de las fracciones por z se tiene la fracción equivalente a la original:

$$ \frac{2xz}{yz}$$

Similarmente, multiplicando numerador y denominador de la segunda por y se obtiene la fracción equivalente:

$$ \frac{xy}{zy}$$

Restamos las fracciones equivalentes:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{zy}$$

Como $latex yz = zy$ la expresión anterior es equivalente a:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}$$

Tenemos ahora la resta de dos fracciones con denominador común yz. La fracción resultante es la resta de los numeradores, dividida entre el denominador común.

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}= \frac{2xz – xy}{yz}$$

El resultado es:

$$\frac{2xz – xy}{yz}$$

Se trata de la diferencia de dos fracciones de distinto denominador. Su mínimo común denominador es 3×2=6.

Entonces se sigue el siguiente procedimiento para obtener la resta de dos fracciones equivalentes a las originales, pero con el denominador igual para ambas:

• Multiplicamos tanto al numerador, como al denominador de la primera fracción por 2 para obtener $latex \frac{4x}{6}$.
• Multiplicamos tanto al numerador, como al denominador de la segunda fracción por 3 para obtener $latex \frac{3x}{6}$.

Ahora, tenemos lo siguiente:

$$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}= \frac{4x}{6}-\frac{3x}{6}$$

$$ = \frac{4x-3x}{6}$$

$$ = \frac{x}{6}$$

El resultado es: $latex \frac{x}{6}$

Los denominadores son: 6 y 4, es decir 2×3 y 2×2. Esto significa que su mínimo común denominador es 12 (comunes y no comunes con su mayor exponente).

$$ \frac{a-2}{6} – \frac{3a+2}{4} = \frac{2(a-2)}{12}-\frac{3(3a+2)}{12}$$

$$= \frac{2a-4}{12} – \frac{9a+6}{12}$$

$$= \frac{(2a-4)-(9a+6)}{12} $$

$$= \frac{2a-4-9a-6}{12}$$

$$=\frac{-7a-10}{12}$$

$$= – \frac{7a+10}{12}$$

El resultado es: $latex – \frac{7a+10}{12}$

Son fracciones de denominadores no comunes. Se aplicará el siguiente procedimiento, al cual llamaremos multiplicar en cruz:

Para hallar el numerador resultante, se multiplica el numerador del primero por el denominador del segundo MENOS el denominador del primero por el numerador del segundo.

El denominador resultante es, el producto de los denominadores.

$$ \frac{2}{x-4} – \frac{1}{x-3} = \frac{2(x-3) – 1(x-4)}{(x-4)(x-3)}$$

$$ = \frac{2x-6-x+4}{(x-4)(x-3)} $$

El resultado es:

$$ \frac{x-2}{(x-4)(x-3)} $$

El resultado es:

$$ \frac{(m-n)^2 – (m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$$

Si se desarrollan los factores se obtiene un resultado equivalente:

$$ =\frac{m^2-2mn+n^2-m^2-2mn-n^2}{m^2-mn+nm-n^2}$$

$$= \frac{-4mn}{m^2-n^2}$$

Si se multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción por el valor 2 se tiene una resta de fracciones con denominador común:

$$\frac{2x-2}{8x+8} – \frac{x+2}{8x-8}$$

La fracción resultante tendrá como numerador, la diferencia de numeradores, y como denominador el denominador común:

$$=\frac{(2x-2) – (x+2)}{8x+8}$$

Desarrollando el numerador:

$$=\frac{(2x-2-x-2)}{8x+8}$$

$$=\frac{(x-4)}{8x+8}$$

El resultado es:

$$\frac{(x-4)}{8(x+1)}$$

Para hallar la solución aplicaremos el método de multiplicar en X explicado en el ejercicio 6.

$$\frac{a(a-1)^2 – (a^2-1)(a+1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

El resultado anterior se puede considerar la respuesta; sin embargo, si se desarrollan y se simplifican los factores del numerador, puede obtenerse un resultado alternativo:

$$=\frac{a(a^2-2a+1) – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – a^3-a^2+a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

que se simplifica al siguiente resultado

$$=\frac{-3a^2+2a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

Aplicaremos el método de multiplicar en cruz (X) explicado en el ejercicio 6.

$$ \frac{3}{x-1} – \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

Ahora desarrollamos el numerador y simplificamos hasta donde sea posible:

$$ =\frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)}$$

El resultado final es:

$$ =\frac{(x+5)}{(x-1)(x+1)}$$