Multiplicación de fracciones algebraicas – Ejercicios resueltos

La fracción resultante del producto (o multiplicación) de dos fracciones algebraicas, es el producto de los numeradores dividido entre la multiplicación de sus denominadores:

$$ \frac{2a}{3b^3} \cdot \frac{3b^2}{4a} = \frac{(2a)\cdot (3b^2)}{(3b^3) \cdot (4a)}$$

Simplificando los factores semejantes en numerador y denominador nos queda:

$$ =\frac{(1) \cdot (1)}{(b) \cdot (2)} $$

El resultado final es:

$$ \frac{1}{2b} $$

Factorizamos numerador y denominador de cada una de las fracciones indicadas:

$$ \frac{7(x+1)}{10(x+5)} \cdot \frac{5(x+5)}{2 \cdot 7} $$

Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:

$$ \frac{7(x+1) \cdot 5(x+5)}{10(x+5) \cdot 2 \cdot 7} $$

Simplificamos o cancelamos factores semejantes entre el numerador y el denominador:

$$ \frac{(x+1)}{2 \cdot 2 } $$

El resultado final es:

$$ \frac{(x+1)}{4} $$

Multiplicamos numeradores entre si y denominadores entre si:

$$ \frac{10 \cdot 2a \cdot 3b}{a \cdot b^2 \cdot 20} $$

Simplificamos:

$$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 2} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 1} $$

El resultado final es:

$$ \frac{3}{b} $$

Se multiplican numeradores y denominadores entre si:

$$ \frac{(x^3 + 2x^2 + x)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x^2 + x)} $$

Se factoriza lo mas posible numerador y denominador:

$$ =\frac{x(x^2 + 2x + 1)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$

Podemos factorizar la expresión $latex x^2+2x+1$ reconociendo que esto es igual a $latex (x+1)^2$:

$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$

Teniendo en cuenta que una diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia nos queda:

$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a + b)(a – b)(x + 1)x} $$

Ahora simplificamos o cancelamos factores semejantes entre numerador y denominador:

$$ =\frac{1(x+1)(1)}{(a + b)(1)(1)1} $$

Finalmente nos queda:

$$ \frac{(x+1)}{(a + b)} $$

Multiplicamos numeradores entre si y denominadores entre si:

$$ \frac{(a^2-4a – 5)(2a-2)}{(2a^2-50)(3a+3)} $$

Sustituimos el primer factor del numerador que es un polinomio cuadrático por el producto de dos binomios:

$$ (a^2-4a – 5) = (a-5)(a+1) $$

y sacamos factor común donde sea posible:

$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a^2-25))3(a+1)} $$

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados en $latex (a^2-25)$:

$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a – 5)(a+5))3(a+1)} $$

Simplificamos

$$ \frac{(a-1)}{(a+5)3} $$

El resultado final es:

$$ \frac{(a-1)}{3(a+5)} $$

La expresión dada es equivalente a:

$$ ( \frac{1}{1} + \frac{a}{b})( \frac{a}{1} – \frac{a^2}{a+b}) $$

En primer lugar se suman y se restan las fracciones en cada una de las expresiones entre los paréntesis:

$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{a^2 + ab -a^2}{a+b}) $$

Simplificando nos queda:

$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{ ab }{a+b}) $$

Ahora multiplicamos las fracciones de la forma habitual, numerador por numerador y denominador por denominador:

$$ \frac{(b+a)ab}{b(a+b)} $$

Después de simplificar, es decir cancelar factores iguales en numerador y denominador, nos queda que la respuesta final es:

$$ a $$

Tomando en cuenta que $latex x = \frac{x}{1} $ se efectúa la resta de fracciones en el primer paréntesis y la suma en el segundo:

$$ (\frac{x(y+1) -x}{y+1})( \frac{xy + x}{y}) $$

Desarrollamos el primer numerador y sacamos factor común x en el segundo numerador:

$$ (\frac{xy+x -x}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$

Simplificamos:

$$ (\frac{xy}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$

Multiplicamos las fracciones que están entre paréntesis:

$$ \frac{x^2y(y+1)}{(y+1)y} $$

Se cancelan los factores iguales entre numerador y denominador, quedando como resultado final:

$$ x^2 $$

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí:

$$ \frac{30xb}{10xb^2} $$

Después de simplificar se obtiene que la respuesta es:

$$ \frac{3}{b} $$

Tenemos el producto de una suma por una diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

$$ 1^2-(\frac{x}{y})^2 $$

En la expresión anterior tenemos una fracción algebraica elevada al cuadrado, lo que equivale a multiplicar la fracción por sí misma:

$$ \frac{1}{1}-\frac{x^2}{y^2} $$

Se resuelve la resta de fracciones algebraicas y nos queda:

$$ \frac{y^2-x^2}{y^2} $$

Factorizamos el numerador usando nuevamente el producto notable de la diferencia de cuadrados, para obtener como resultado final:

$$ \frac{(y-x)(x+y)}{y^2} $$

Antes de efectuar la multiplicación se saca factor común en numeradores y denominadores:

$$ \frac{15x^2(x + 1)}{10x(2x-3)} \cdot \frac{2(2x-3)}{x+1} $$

Se multiplican las fracciones:

$$ \frac{30x^2(x + 1)(2x-3)}{10x(2x-3)(x+1)} $$

Cancelando los factores iguales entre numerador y denominador se tiene el resultado final:

$$ \frac{3x}{1} = 3x $$