La racionalización es el proceso de remover los radicales del denominador de una fracción. Para racionalizar denominadores tenemos que multiplicar la expresión por un valor conveniente de modo que, al simplificar, eliminemos los radicales del denominador. Existen dos métodos principales usados para racionalizar radicales dependiendo en si el denominador es un monomio o un binomio.
A continuación, miraremos un resumen de estos dos métodos junto con varios ejercicios de racionalización resueltos para dominar completamente este proceso.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a racionalizar denominadores con ejercicios resueltos.
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Aprender a racionalizar denominadores con ejercicios resueltos.
Resumen de racionalización de denominadores
Racionalizar el denominador significa eliminar las expresiones radicales en el denominador de modo que no tengamos raíces cuadradas, cúbicas u otras.
La idea principal en la racionalización de denominadores es multiplicar a la fracción original por un valor apropiado de modo que, después de simplificar, el denominador ya no contenga radicales.
Cuando el denominador es un monomio, podemos aplicar el hecho que:
$latex \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{{{x}^2}}=x$
Entonces, podemos multiplicar tanto al numerador como al denominador por la expresión radical. Luego de simplificar, obtendremos una expresión sin radicales en el denominador.
Por otra parte, si es que el denominador es un binomio, tenemos que usar el conjugado del binomio. El conjugado de un binomio es igual al mismo binomio, pero con el signo del medio cambiado.
Por ejemplo, supongamos que tenemos al binomio $latex a+\sqrt{b}$ en el denominador. El conjugado de este binomio es $latex a-\sqrt{b}$. El producto del binomio y de su conjugado es:
$latex (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})={{a}^2}-b$
Ejercicios de racionalización resueltos
El proceso de racionalización indicado arriba es usado para racionalizar tanto a monomios como a binomios en los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Racionaliza el denominador de la expresión $latex \frac{3}{\sqrt{2}}$.
Solución
El denominador contiene una expresión radical, la raíz cuadrada de 2. Podemos eliminar el radical del denominador al multiplicarlo por sí mismo, ya que $latex \sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$.
Sin embargo, si es que solo multiplicamos al denominador, estamos cambiando a la expresión. Entonces, también multiplicamos al numerador para balancear.
Al multiplicar a la expresión por $latex \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ en realidad estamos multiplicando por 1. Entonces, tenemos:
$latex \frac{3}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{4}}$
$latex =\frac{3\sqrt{2}}{2}$
La expresión que obtuvimos ya no tiene un radical en el denominador, por lo que ya la hemos racionalizado.
EJERCICIO 2
Racionaliza a $latex \frac{8}{\sqrt{2}}$ y simplifica de ser posible.
Solución
Similar al ejercicio anterior, tenemos una raíz cuadrada de 2 en el denominador. Entonces, multiplicamos a la expresión por $latex \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$latex \frac{8}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4}}$
$latex =\frac{8\sqrt{2}}{2}$
Ya hemos racionalizado a la expresión, pero en este caso, también podemos simplificar al cancelar factores comunes:
$latex \frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
EJERCICIO 3
Racionaliza la expresión $latex \sqrt{\frac{5}{3}}$.
Solución
En este caso, tenemos una raíz cuadrada de una fracción completa. Podemos empezar aplicando la regla del cociente de raíces cuadradas.
Esto nos permite escribir al numerador y al denominador con raíces cuadradas separadamente. Entonces, tenemos:
$latex \sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
La nueva expresión tiene un denominador con una raíz cuadrada de 3, por lo que multiplicamos tanto al numerador como al denominador por este radical:
$latex \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{3}}{\sqrt{9}}$
$latex =\frac{\sqrt{5}\sqrt{3}}{3}$
$latex =\frac{\sqrt{15}}{3}$
EJERCICIO 4
Simplifica al racionalizar el denominador de $latex \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$.
Solución
Multiplicamos tanto al numerador como al denominador por $latex \sqrt{3}$ para eliminar al radical del denominador:
$latex \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{9}}$
$latex =\frac{3\sqrt{18}}{3}$
$latex =\sqrt{18}$
Podemos reescribir al 18 como el producto de 9 y 2 para simplificar a la expresión:
$latex \sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}$
$latex =\sqrt{9}\sqrt{2}$
$latex =3\sqrt{2}$
EJERCICIO 5
Racionaliza y simplifica la expresión $latex \frac{4-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$.
Solución
Esta expresión contiene a un binomio en el numerador, pero el proceso es el mismo, ya que seguimos teniendo un monomio en el denominador. Multiplicamos tanto al numerador como al denominador por $latex \sqrt{2}$:
$latex \frac{4-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(4-\sqrt{6})}{\sqrt{4}}$
$latex =\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{12}}{2}$
Podemos simplificar la expresión al reconocer que podemos escribir a 12 como el producto de 4 y 3:
$latex \frac{4\sqrt{2}-\sqrt{12}}{2}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{4\times 3}}{2}$
$latex =\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{4}\sqrt{3}}{2}$
$latex =\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$
$latex =2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
EJERCICIO 6
Racionaliza la expresión $latex \frac{4}{2+\sqrt{2}}$.
Solución
Este ejercicio es un poco diferente, ya que tenemos dos términos en el denominador, es decir, un binomio. Para eliminar al radical del denominador, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del binomio.
Para encontrar el conjugado de un binomio, simplemente tenemos que cambiar el signo del medio. En este caso, tenemos que multiplicar por $latex \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$:
$latex \frac{4}{2+\sqrt{2}}\times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{4(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
$latex =\frac{8-4\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{4}}$
$latex =\frac{8-4\sqrt{2}}{4-2}$
$latex =\frac{8-4\sqrt{2}}{2}$
$latex =4-2\sqrt{2}$
EJERCICIO 7
Racionaliza la expresión $latex \frac{5}{6-\sqrt{3}}$.
Solución
Similar al problema anterior, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del binomio. En este caso, tenemos que multiplicar por $latex \frac{6+\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}$:
$latex \frac{5}{6-\sqrt{3}}\times \frac{6+\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}=\frac{5(6+\sqrt{3})}{(6-\sqrt{3})(6+\sqrt{3})}$
$latex =\frac{30+5\sqrt{3}}{36-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{9}}$
$latex =\frac{30+5\sqrt{3}}{36-3}$
$latex =\frac{30+5\sqrt{3}}{33}$
EJERCICIO 8
Racionaliza la expresión $latex \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.
Solución
Multiplicamos tanto al denominador como al numerador por el conjugado del binomio. En este caso, el conjugado es $latex \sqrt{3}-\sqrt{2}$:
$latex \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
$latex =\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$
$latex =\frac{\sqrt{9}-\sqrt{6}-\sqrt{6}+\sqrt{4}}{\sqrt{9}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{4}}$
$latex =\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}$
$latex =3-2\sqrt{6}+2$
$latex =5-2\sqrt{6}$
→ Calculadora de Racionalización
Ejercicios de racionalización para resolver
Usa lo aprendido sobre racionalización para resolver los siguientes ejercicios. Escoge una respuesta y verifícala para asegurarte que seleccionaste la correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
