Las potencias nos permiten escribir la multiplicación repetida de manera compacta. Con las potencias, podemos simplificar expresiones algebraicas que podrían ser muy extensas. Además, al usar las reglas de los exponentes, podemos facilitar la resolución de operaciones que involucran a varias expresiones con potencias.
A continuación, miraremos un resumen de las potencias junto con las reglas de los exponentes. También veremos varios ejercicios de potencias resueltos para facilitar el entendimiento de este tipo de ejercicios.
Resumen de potencias
Una potencia es una expresión que tiene la siguiente forma:
$latex {{b}^n}=b\times b…b\times b$
Esto representa el resultado de multiplicar a la base, b, por sí misma tantas veces como indique el exponente, n.
Por ejemplo, $latex {{2}^4}=2\times 2\times 2\times 2=16$ (la base es 2 y el exponente es 4).
Podemos tener expresiones más complejas que combinan diferentes operaciones con potencias. Las siguientes son las reglas de exponentes, las cuales nos indican cómo resolver operaciones con potencias.
Las letras a y b representan a números reales diferentes de cero y las letras m y n representan a números enteros:
1) Regla del cero de exponentes:
2) Regla de exponentes negativos:
3) Regla del producto de exponentes:
4) Regla del cociente de exponentes:
5) Potencia de una potencia de exponentes:
6) Potencia de un producto de exponentes:
7) Potencia de un cociente de exponentes:
Ejercicios de potencias resueltos
Los siguientes ejercicios de potencias tienen su respectiva solución. La solución es detallada e indica el proceso y razonamiento usado para obtener la respuesta. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Simplifica la expresión $latex 5^{-2}$.
Solución
Aquí tenemos un exponente negativo, por lo que tenemos que empezar convirtiendo ese exponente a positivo.
Entonces, aplicando la regla de exponentes negativos, tenemos que tomar el recíproco de la base y cambiar el exponente de negativo a positivo:
$latex 5^{-2}=\frac{1}{5^2}$
Ahora, aplicamos el exponente al 5 para simplificar:
$latex \frac{1}{{{5}^2}}=\frac{1}{25}$
EJERCICIO 2
Simplifica la expresión $latex {{({{3}^2})}^{-2}}$.
Solución
En este caso, tenemos que aplicar la regla de la potencia de una potencia, en donde multiplicamos los exponentes:
$latex {{({{3}^2})}^{-2}}={{3}^{-4}}$
Similar al ejercicio anterior, aplicamos la regla de exponentes negativos para cambiar el exponente de 4 negativo a 4 positivo:
$latex {{3}^{-4}}=\frac{1}{{{3}^4}}$
Aplicando el exponente, tenemos:
$latex \frac{1}{{{3}^4}}=\frac{1}{81}$
EJERCICIO 3
Simplifica la expresión $latex \frac{{{4}^5}}{{{4}^3}}$.
Solución
Tenemos una división de potencias con una misma base. Entonces, usamos la regla del cociente. Esta regla nos dice que restamos el exponente del denominador al exponente del numerador:
$latex \frac{{{4}^5}}{{{4}^3}}={{4}^{5-3}}$
$latex ={{4}^2}$
Aplicando el exponente tenemos:
$latex {{4}^2}=16$
EJERCICIO 4
Simplifica la expresión $latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{12}^3}}$.
Solución
En el numerador tenemos una multiplicación de potencias, pero no podemos simplificar debido a que la base no es la misma. Sin embargo, podemos reescribir al denominador al reconocer que 12 es igual a 4×3:
$latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{12}^3}}=\frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{(4\times3)}^3}}$
$latex =\frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{4}^3}\times {{3}^3}}$
Ahora, podemos aplicar la regla del cociente tanto a las potencias con base 3 como a las potencias con base 4:
$latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{4}^3}\times {{3}^3}}={{4}^{5-3}}\times {{3}^{5-3}}$
$latex ={{4}^2}\times {{3}^2}$
$latex =16\times 9$
$latex =144$
EJERCICIO 5
Simplifica la expresión $latex {{\left(\frac{4}{{{5}^2}} \right)}^{-2}} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)$.
Solución
Primero, podemos empezar cambiando el exponente negativo a positivo al darle la vuelta a la fracción:
$latex {{\left(\frac{4}{{{5}^2}} \right)}^{-2}} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)={{\left(\frac{{{5}^2}}{4} \right)}^2} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)$
Ahora, podemos aplicar la regla de la potencia de una potencia:
$latex {{\left(\frac{{{5}^2}}{4} \right)}^2} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)=\frac{{{5}^4}}{{{4}^2}} \times \frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} $
Podemos reescribir de la siguiente manera y aplicar la regla del cociente:
$latex \frac{{{5}^4}}{{{4}^2}} \times \frac{{{4}^2}}{{{5}^3}}=\frac{{{5}^4}}{{{5}^3}} \times \frac{{{4}^2}}{{{4}^2}}$
$latex ={{5}^{4-3}}\times{{4}^{2-2}}$
Simplificando y aplicando la regla del cero de exponentes, tenemos:
$latex {{5}^{4-3}}\times{{4}^{2-2}}={{5}^1}\times {{4}^0}$
$latex =5\times 1$
$latex =5$
EJERCICIO 6
Simplifica la expresión $$\frac{{{x}^{-3}}{{y}^{2}}}{{{y}^2}{{x}^2}}$$
Solución
En este caso, tenemos a las variables x y y, pero las reglas de los exponentes son aplicadas de la misma forma. Entonces, empezamos con la regla de exponentes negativos:
$latex \frac{{{x}^{-3}}{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}}=\frac{{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}{{x}^3}}$
Ahora, aplicamos la regla del cociente a la variable y y la regla del producto a la variable x:
$latex \frac{{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}{{x}^3}}=\frac{{{y}^{2-2}}}{{{x}^{2+3}}}$
$latex =\frac{1}{{{x}^5}}$
EJERCICIO 7
Simplifica la expresión $latex {{(7{{a}^3})}^{-2}}{{b}^{-1}}$.
Solución
Aquí, podemos empezar con los exponentes negativos. Entonces, tomamos el recíproco de las bases y cambiamos los exponentes a positivos:
$latex {{(7{{a}^3})}^{-2}}{{b}^{-1}}=\frac{1}{{{(7{{a}^3})}^2}{{b}^1}}$
Ahora, aplicamos la potencia de una potencia:
$latex \frac{1}{{{(7{{a}^3})}^2}{{b}^1}}=\frac{1}{{{7}^2}{{a}^6}{{b}^1}}$
$latex =\frac{1}{49{{a}^6}b}$
EJERCICIO 8
Simplifica la expresión $latex {{({{b}^{-3}}c)}^2}\times {{({{b}^{2}}{{c}^3})}^{-3}}$.
Solución
Empezamos con el exponente negativo de la derecha:
$latex {{({{b}^{-3}}c)}^2}\times {{({{b}^{2}}{{c}^3})}^{-3}}=\frac{{{({{b}^{-3}}c)}^2}}{{{({{b}^{2}}{{c}^3})}^3}}$
Ahora, aplicamos la regla de la potencia de una potencia para eliminar los paréntesis:
$latex \frac{{{({{b}^{-3}}c)}^2}}{{{({{b}^{2}}{{c}^3})}^3}}=\frac{{{b}^{-6}}{{c}^2}}{{{b}^6}{{c}^9}}$
Nuevamente, aplicamos la regla de exponentes negativos:
$latex \frac{{{b}^{-6}}{{c}^2}}{{{b}^6}{{c}^9}}=\frac{{{c}^2}}{{{b}^6}{{b}^6}{{c}^9}}$
Ahora, aplicamos la regla del cociente a c y l a regla del producto a b:
$latex \frac{{{c}^2}}{{{b}^6}{{b}^6}{{c}^9}}=\frac{1}{{{b}^{6+6}}{{c}^{9-2}}}$
$latex =\frac{1}{{{b}^{12}}{{c}^7}}$
Ejercicios de potencias para resolver
Aplica lo aprendido sobre potencias y las reglas de los exponentes con los siguientes ejercicios. Resuelve los problemas y escoge una respuesta. Verifica tu respuesta para comprobar que escogiste la respuesta correcta.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre potencias? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
