Los ejercicios de exponentes fraccionarios pueden ser resueltos usando la regla de exponentes fraccionarios. Esta regla indica la relación entre potencias y radicales. El denominador de un exponente fraccionario es escrito como un radical de la expresión y el numerador es escrito como el exponente.

A continuación, veremos un breve resumen de exponentes fraccionarios en expresiones algebraicas. También miraremos varios ejercicios de exponentes fraccionarios resueltos para aprender cómo resolver este tipo de problemas.

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ejercicios de exponentes fraccionarios

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Aprender a resolver ejercicios de exponentes fraccionarios.

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Resumen de exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario es una técnica para expresar potencias y raíces juntas. La forma general de un exponente fraccionario es:

ejercicios de exponentes fraccionarios

Podemos definir los siguientes términos:

  • Radicando: El radicando es la expresión debajo del signo √. En la expresión de arriba, el radicando es {{b}^m}.
  • Índice: El índice o también conocido como orden del radical, es el número que indica cuál raíz está siendo aplicada. En la expresión de arriba, el índice es n.
  • Base: La base es el número al cual se aplica la raíz o la potencia. En este caso, la base es b.
  • Potencia: La potencia indica multiplicación repetida de la base por sí misma. En la expresión de arriba, la potencia es m.

Ejercicios de exponentes fraccionarios resueltos

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene una solución detallada. La solución puede ser usada para dominar el proceso de resolución de ejercicios con exponentes fraccionarios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Simplifica la expresión {{3}^{\frac{3}{2}}}.

La regla de exponentes fraccionarios nos dice que {{b}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{b}^m}}. Entonces, escribimos al 3 elevado a la potencia 3 y luego, sacamos la raíz cuadrada de esto:

{{3}^{\frac{3}{2}}}=\sqrt[2]{{{3}^3}}}

Ahora, simplificamos la expresión al aplicar el exponente del 3:

\sqrt[2]{{{3}^3}}}=\sqrt[2]{81}

Podemos simplificar nuevamente al reconocer que la raíz cuadrada de 81 es 9:

 \sqrt[2]{81}=9

EJERCICIO 2

Simplifica la expresión {{4}^{\frac{2}{3}}}.

Ahora, tenemos que escribir al 4 elevado a la potencia de 2 y tenemos que sacar la raíz cúbica de esa expresión:

{{4}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{{{4}^2}}}

Simplificamos al aplicar el exponente:

\sqrt[3]{{{4}^2}}}=\sqrt[3]{16}

Podemos simplificar al reescribir al 16 como 8×2:

\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}

La raíz cúbica de 8 es 2, por lo que tenemos:

 \sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}

EJERCICIO 3

Simplifica la expresión {{-2}^{\frac{4}{3}}}{{x}^{\frac{2}{3}}}.

Aquí tenemos un número y una variable. Elevamos al -2 a la cuarta potencia y sacamos su raíz cúbica y elevamos la x al cuadrado y sacamos su raíz cúbica:

{{-2}^{\frac{4}{3}}}{{x}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{{{(-2)}^4}}}\sqrt[3]{{{x}^2}}}

Podemos aplicar el exponente al -2 para simplificar:

\sqrt[3]{{{(-2)}^4}}}\sqrt[3]{{{x}^2}}}=\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{{{x}^2}}}

Similar al problema anterior, Podemos simplificar al reescribir al 16 como 8×2:

\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}

=2\sqrt[3]{2}

Entonces, tenemos:

\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{{{x}^2}}}=2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{{{x}^2}}}

Ahora, podemos combinar las raíces cúbicas para simplificar:

 2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{{{x}^2}}}=2\sqrt[3]{2{{x}^2}}}

EJERCICIO 4

Simplifica la expresión {{6}^{\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{5}{2}}}.

Escribimos al 6 elevado al cubo y sacamos su raíz cuadrada. Escribimos a la x elevada a la quinta y sacamos su raíz cuadrada:

{{6}^{\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{5}{2}}}=\sqrt{{{6}^3}}}\sqrt{{{x}^5}}}

Simplificamos el 6 elevado al cubo:

\sqrt{{{6}^3}}}\sqrt{{{x}^5}}}=\sqrt{216}\sqrt{{{x}^5}}}

Es posible simplificar al escribir al 216 como 36×6:

\sqrt{216}=\sqrt{36\times 6}

=6\sqrt{6}

Entonces, tenemos:

\sqrt{216}\sqrt{{{x}^5}}}=6\sqrt{6}\sqrt{{{x}^5}}}

Combinando las raíces cuadradas, tenemos:

6\sqrt{6}\sqrt{{{x}^5}}}=6\sqrt{6{{x}^5}}}

EJERCICIO 5

Simplifica la expresión {{4}^{-\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}}.

En este caso, tenemos un exponente negativo. Recordemos que un exponente negativo puede ser transformado a positivo al tomar el recíproco de la base. Entonces, tenemos:

{{4}^{-\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{{{4}^{\frac{3}{2}}}}

Ahora, elevamos al 4 al cubo y sacamos su raíz cuadrada y sacamos la raíz cuadrada de la x:

\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{{{4}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{{4}^3}}}

Podemos aplicar el exponente al 4 para simplificar:

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{{4}^3}}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{64}}

Ahora, podemos sacar la raíz cuadrada de 64:

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{x}}{8}

EJERCICIO 6

Simplifica la expresión {{12}^{-\frac{2}{3}}}{{x}^{\frac{3}{5}}}.

Empezamos transformado el exponente a positivo al tomar el recíproco de la base. Entonces, tenemos:

{{12}^{-\frac{2}{3}}}{{x}^{\frac{3}{5}}}=\frac{{{x}^{\frac{3}{5}}}}{{{12}^{\frac{2}{3}}}}

Ahora, elevamos al 12 al cuadrado y sacamos su raíz cúbica. Elevamos a la x al cubo y sacamos su raíz quinta:

\frac{{{x}^{\frac{3}{5}}}}{{{12}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{{{12}^2}}}

Aplicamos el exponente al 12:

\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{{{12}^2}}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{144}}

Podemos escribir al 144 como 8×18 y samos la raíz cúbica del 8:

\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{144}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{8\times 18}}

 =\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{2\sqrt[3]{18}}

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Ejercicios de exponentes fraccionarios para resolver

Pon a prueba tus habilidades y tu conocimiento de exponentes fraccionarios con los siguientes ejercicios. Resuelve los ejercicios y selecciona una respuesta. Verifícala para saber si seleccionaste la respuesta correcta.

Usa los ejercicios resueltos de arriba en caso de necesitar ayuda.

Simplifica la expresión {{2}^{\frac{5}{2}}}.

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Simplifica la expresión {{7}^{\frac{2}{3}}}.

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Simplifica la expresión {{6}^{\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{3}{2}}}.

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Simplifica la expresión {{8}^{-\frac{2}{3}}}{{x}^{\frac{1}{2}}}.

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Véase también

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