Ejercicios de Exponentes Fraccionarios Resueltos y para Resolver

La regla de exponentes fraccionarios nos dice que $latex {{b}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{b}^m}}$. Entonces, escribimos al 3 elevado a la potencia 3 y luego, sacamos la raíz cuadrada de esto:

$latex 3^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{3^3}$

Ahora, simplificamos la expresión al aplicar el exponente del 3:

$latex \sqrt[2]{3^3}=\sqrt[2]{81}$

Podemos simplificar nuevamente al reconocer que la raíz cuadrada de 81 es 9:

$latex \sqrt[2]{81}=9$

Ahora, tenemos que escribir al 4 elevado a la potencia de 2 y tenemos que sacar la raíz cúbica de esa expresión:

$latex 4^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4^2}$

Simplificamos al aplicar el exponente:

$latex \sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$

Podemos simplificar al reescribir al 16 como 8×2:

$latex \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}$

La raíz cúbica de 8 es 2, por lo que tenemos:

$latex \sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}$

Aquí tenemos un número y una variable. Elevamos al -2 a la cuarta potencia y sacamos su raíz cúbica y elevamos la x al cuadrado y sacamos su raíz cúbica:

$latex -2^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-2)^4}\sqrt[3]{x^2}$

Podemos aplicar el exponente al -2 para simplificar:

$latex \sqrt[3]{(-2)^4}\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{x^2}$

Similar al problema anterior, Podemos simplificar al reescribir al 16 como 8×2:

$latex \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}$

$latex =2\sqrt[3]{2}$

Entonces, tenemos:

$latex \sqrt[3]{16}\sqrt[3]{x^2}=2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x^2}$

Ahora, podemos combinar las raíces cúbicas para simplificar:

$latex 2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x^2}=2\sqrt[3]{2x^2}$

Escribimos al 6 elevado al cubo y sacamos su raíz cuadrada. Escribimos a la x elevada a la quinta y sacamos su raíz cuadrada:

$latex 6^{\frac{3}{2}}x^{\frac{5}{2}}=\sqrt{6^3}\sqrt{x^5}$

Simplificamos el 6 elevado al cubo:

$latex \sqrt{6^3}\sqrt{x^5}=\sqrt{216}\sqrt{x^5}$

Es posible simplificar al escribir al 216 como 36×6:

$latex \sqrt{216}=\sqrt{36\times 6}$

$latex =6\sqrt{6}$

Entonces, tenemos:

$latex \sqrt{216}\sqrt{x^5}=6\sqrt{6}\sqrt{x^5}$

Combinando las raíces cuadradas, tenemos:

$latex 6\sqrt{6}\sqrt{x^5}=6\sqrt{6x^5}$

En este caso, tenemos un exponente negativo. Recordemos que un exponente negativo puede ser transformado a positivo al tomar el recíproco de la base. Entonces, tenemos:

$latex {{4}^{-\frac{3}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{{{4}^{\frac{3}{2}}}}$

Ahora, elevamos al 4 al cubo y sacamos su raíz cuadrada y sacamos la raíz cuadrada de la x:

$latex \frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{{{4}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{{4}^3}}}$

Podemos aplicar el exponente al 4 para simplificar:

$latex \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{{4}^3}}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{64}}$

Ahora, podemos sacar la raíz cuadrada de 64:

$latex \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{x}}{8}$

Empezamos transformado el exponente a positivo al tomar el recíproco de la base. Entonces, tenemos:

$latex {{12}^{-\frac{2}{3}}}{{x}^{\frac{3}{5}}}=\frac{{{x}^{\frac{3}{5}}}}{{{12}^{\frac{2}{3}}}}$

Ahora, elevamos al 12 al cuadrado y sacamos su raíz cúbica. Elevamos a la x al cubo y sacamos su raíz quinta:

$latex \frac{{{x}^{\frac{3}{5}}}}{{{12}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{{{12}^2}}}$

Aplicamos el exponente al 12:

$latex \frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{{{12}^2}}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{144}}$

Podemos escribir al 144 como 8×18 y samos la raíz cúbica del 8:

$latex \frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{144}}=\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{\sqrt[3]{8\times 18}}$

$latex =\frac{\sqrt[5]{{{x}^3}}}{2\sqrt[3]{18}}$

Simplemente, aplicamos la regla de exponentes fraccionarios para formar radicales:

$latex {{x}^{{\frac{1}{2}}}}{{y}^{{\frac{2}{3}}}}=\sqrt{x}~\sqrt[3]{{{{y}^{2}}}}$

Nuevamente, sólo tenemos que aplicar la regla de exponentes fraccionarios para formar radicales y luego simplificamos:

$latex {{81}^{{\frac{1}{4}}}}{{x}^{{\frac{3}{2}}}}=\sqrt[4]{{81}}~\sqrt{{{{x}^{3}}}}$

$latex =3~\sqrt{{{{x}^{3}}}}$

Aquí tenemos exponentes negativos, por lo que empezamos transformando los exponentes negativos a positivos al usar la regla de exponentes negativos:

$latex {{4}^{{-\frac{1}{2}}}}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{{{{4}^{{\frac{1}{2}}}}{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}$

Ahora, usamos la regla de exponentes fraccionarios y simplificamos:

$latex =\frac{1}{{\sqrt{4}~\sqrt{x}}}$

$latex =\frac{1}{{2~\sqrt{x}}}$

Tenemos exponentes negativos, por lo que empezamos con la regla de exponentes negativos:

$$\frac{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}~{{y}^{{-\frac{1}{3}}}}}}{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}~}}=\frac{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}~}}{{{{{16}}^{{\frac{1}{2}}}}~{{y}^{{\frac{1}{3}}}}~}}$$

Ahora, usamos la regla de exponentes fraccionarios y simplificamos:

$latex =\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{{16}}~\sqrt[3]{y}}}$

$latex =\frac{{\sqrt{x}}}{{4~\sqrt[3]{y}}}$