Las funciones racionales son funciones que tienen una fracción con un polinomio en el denominador y un polinomio en el numerador. Para graficar estas funciones, es necesario determinar cuáles son sus asíntotas.
A continuación, veremos un resumen de las funciones racionales. Revisaremos cómo graficar funciones racionales y cómo encontrar asíntotas. Además, miraremos varios ejercicios de funciones racionales resueltos para entender totalmente el proceso usado para encontrar asíntotas y graficar este tipo de funciones.
Resumen de funciones racionales
Una función racional es una función que puede ser escrita como una fracción de dos funciones polinomiales. Ni los coeficientes de los polinomios, ni los valores tomados por la función tienen que ser necesariamente números racionales.
Una función de una variable x es considerada una función racional solo si es que puede ser escrita de la forma:
$latex f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$
en donde P y Q son funciones polinomiales y $latex Q(x)$ es diferente de cero.
Graficar funciones racionales
Para graficar funciones racionales, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Encuentra los interceptos si es que existen. El intercepto en y es el punto (0, f(0)) y encontramos los interceptos en x al establecer al denominador como una ecuación igual a cero y resolver para x.
Paso 2: Encontramos las asíntotas verticales al establecer al denominador igual a cero y resolver.
Paso 3: Si es que existe, encontramos la asíntota horizontal usando lo detallado a continuación sobre las asíntotas.
Paso 4: Las asíntotas verticales dividirán a la gráfica en varias regiones. Tenemos que encontrar varios puntos en cada una de las regiones para determinar la forma general que tendrá la gráfica.
Paso 5: Trazamos la gráfica que pasa a través de todos los puntos encontrados.
Encontrar asíntotas
Si tenemos la función racional $latex \frac{a{{x}^n}+\cdots}{b{{x}^m}+\cdots}$, en donde, n significa el exponente más grande del numerador y m significa el exponente más grande del denominador, Podemos encontrar asíntotas de la siguiente forma:
1. Si es que el denominador es cero en $latex x=a$ y el denominador no es cero en $latex x=a$, la gráfica tendrá una asíntota vertical en $latex x=a$.
2. Si es que $latex n<m$, el eje x es la asíntota horizontal.
3. Si es que $latex n=m$, la línea $latex y=\frac{a}{b}$ es la asíntota horizontal.
4. Si es que $latex n>m$, no habrá asíntotas horizontales
Ejercicios de funciones racionales resueltos
Los siguientes ejercicios de funciones racionales son resueltos usando el proceso detallado arriba. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Obtén la gráfica de la función racional $latex f(x)=\frac{-3}{x-1}$.
Solución
Paso 1: Empezamos encontrando los interceptos de la función:
- El intecepto en y es el punto $latex (0, f(0))=(0, 3)$.
- Para los interceptos en x, hacemos que el numerador sea igual a cero y resolvemos. Sin embargo, aquí el numerador es la constante -3, por lo que no tiene ceros. Entonces, la función no tiene interceptos en x.
Paso 2: Para encontrar las asíntotas verticales, hacemos que el denominador sea cero y resolvemos:
$latex x-1=0$
$latex x=1$
Tenemos una asíntota vertical en $latex x=1$.
Paso 3: El exponente más grande de x en el denominador es 1, lo cual es más grande que el exponente de x en el numerador (0). Entonces, el eje x es la asíntota horizontal.
Paso 4: Solo tenemos una asíntota vertical, por lo que tenemos dos regiones en la gráfica: $latex x>1$ y $latex x<1$.
Necesitamos un punto en cada región para determinar si se ubicará arriba o debajo de la asíntota horizontal. Entonces, podemos usar:
$latex f(0)=3$ ⇒ $latex (0, 3)$
$latex f(2)=-3$ ⇒ $latex (2, -3)$
Paso 5: La siguiente es la gráfica de la función:
EJERCICIO 2
Grafica a la función racional $latex f(x)=\frac{4-2x}{1-x}$.
Solución
Paso 1: Tenemos que encontrar los interceptos de la función:
- El intecepto en y es el punto $latex (0, f(0))=(0, 4)$.
- Encontramos interceptos en x al igualar al numerador con cero y resolver:
$latex 4-2x=0$
$latex -2x=-4$
$latex x=2$
El intercepto en x es $latex x=2$.
Paso 2: Encontramos las asíntotas verticales al hacer que el denominador sea cero y resolver:
$latex 1-x=0$
$latex x=1$
Tenemos una asíntota vertical en $latex x=1$.
Paso 3: Los exponentes más grandes de x tanto en el denominador como en el numerador son iguales. Entonces, la asíntota horizontal es igual al coeficiente de x del numerador dividido por el coeficiente de x en el denominador:
$latex y=\frac{-2}{-1}=2$
Paso 4: Tenemos una asíntota vertical, por lo que sólo tenemos dos regiones en la gráfica: $latex x>1$ y $latex x<1$.
Tenemos que encontrar un punto en cada región para saber si se ubicará arriba o debajo de la asíntota horizontal. Entonces, vamos a usar:
$latex f(0)=4$ ⇒ $latex (0, 4)$
$latex f(2)=0$ ⇒ $latex (2, 0)$
Paso 5: Con los puntos obtenidos, graficamos la función:
EJERCICIO 3
Grafica la función racional $latex f(x)=\frac{4}{{{x}^2}+x-2}$.
Solución
Paso 1: Tenemos que encontrar los interceptos de la función:
- El intecepto en y es el punto $latex (0, f(0))=(0, -2)$.
- Encontramos los interceptos en x al igualar al numerador con cero y resolver. En este caso, el numerador es la constante 4, por lo que no tenemos ceros y la función no tiene interceptos en x.
Paso 2: Igualamos al denominador con cero y resolvemos para encontrar las asíntotas verticales:
$latex {{x}^2}+x-2=0$
$latex (x+2)(x-1)=0$
Tenemos las asíntotas verticales $latex x=1$ y $latex x=-2$.
Paso 3: En esta función, el exponente más grande de x en el denominador es mayor que el exponente de x en el numerador (0). Entonces, el eje x es la asíntota horizontal.
Paso 4: Tenemos dos asíntotas verticales, por lo que tenemos tres regiones en la gráfica: $latex x<-2$, $latex -2<x<1$ y $latex x>1$.
Necesitamos un punto en cada región para determinar si se ubicará arriba o debajo de la asíntota horizontal. La región del medio es un poco más complicada, por lo que necesitaremos un par de puntos cercanos a las asíntotas verticales. Entonces, podemos usar:
$latex f(-3)=1$ ⇒ $latex (-3, 1)$
$latex f(-1)=-2$ ⇒ $latex (-1, -2)$
$latex f(0)=-2$ ⇒ $latex (0, -2)$
$latex f(2)=1$ ⇒ $latex (2, 1)$
Paso 5: La siguiente es la gráfica de la función:
EJERCICIO 4
Encuentra la gráfica de la función racional $latex f(x)=\frac{{{x}^2}-4}{{{x}^2}-4x}$.
Solución
Paso 1: Los interceptos de la función racional son:
- Si es que usamos $latex x=0$, obtendremos división por cero, por lo que la función no tiene un intecepto en y. Sin embargo, ya hemos encontrado una asíntota vertical.
- Los interceptos en x son:
$latex {{x}^2}-4=0$
$latex x= \pm2$
Entonces, tenemos dos interceptos en x.
Paso 2: Ya encontramos una asíntota vertical, pero podría haber más. Entonces, hacemos que el denominador sea cero y resolvemos:
$latex {{x}^2}-4x=x(x-4)=0$
$latex x=0$ y $latex x=4$
Obtuvimos dos asíntotas verticales en $latex x=0$ y $latex x=4$.
Paso 3: El exponente más grande de x en el numerador es 2, similar al numerador. Entonces, tendremos una asíntota horizontal en:
$latex y= \frac{1}{1}=1$
Paso 4: Tenemos las regiones: $latex x<0$, $latex 0<x<4$ y $latex x>4$.
Uno de los interceptos en x está en la región izquierda, por lo que no necesitamos un punto allí. El otro intercepto en x está en la región del medio, pero necesitamos más puntos para determinar su comportamiento.
También, necesitamos un punto en la región derecha. Entonces, tenemos:
$latex f(1)=1$ ⇒ $latex (1, 1)$
$latex f(3)=-\frac{5}{3}$ ⇒ $latex (3, -\frac{5}{3})$
$latex f(5)=\frac{21}{5}$ ⇒ $latex (5, \frac{21}{5})$
Paso 5: La siguiente es la gráfica de la función:
EJERCICIO 5
Grafica la función $$f(x)= \frac{4{{x}^2}-36}{{{x}^2}-2x-8}$$
Solución
Paso 1: Empezamos con los interceptos de la función:
- El intecepto en y es el punto $latex (0, f(0))=(0, \frac{9}{2})$.
- Los interceptos en x son:
$latex 4{{x}^2}-36=0$
$latex 4{{x}^2}=36$
$latex {{x}^2}=9$
$latex x= \pm3$
Los interceptos en x son (-3, 0) y (3, 0).
Paso 2: Para encontrar las asíntotas verticales, hacemos que el denominador sea cero y resolvemos:
$latex {{x}^2}-2x-8=0$
$latex (x+2)(x-4)=0$
Tenemos dos asíntotas verticales en $latex x=-2$ y $latex x=4$.
Paso 3: El exponente más grande de x tanto en el denominador como en el numerador es 2. Entonces, la asíntota horizontal es:
$latex y= \frac{4}{1}=4$
Paso 4: Tenemos dos asíntotas verticales, por lo que tenemos las regiones: $latex x<-2$, $latex -2<x<4$ y $latex x>4$.
Necesitamos un punto en cada región, pero necesitamos un par de puntos en la región del medio. Entonces, podemos usar:
$latex f(-3)=0$ ⇒ $latex (-3, 0)$
$latex f(-1)= \frac{32}{5}$ ⇒ $latex (-1, \frac{32}{5})$
$latex f(3)=0$ ⇒ $latex (3, 0)$
$latex f(5)=\frac{64}{7}$ ⇒ $latex (5, \frac{64}{7})$
Paso 5: La siguiente es la gráfica de la función:
Véase también
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