Aplicaciones de las Funciones Racionales

Existen varias aplicaciones de las funciones racionales en la vida cotidiana. Podemos formar ecuaciones y fórmulas racionales para calcular velocidades o distancias, calcular el ritmo de trabajo de personas o máquinas y podemos resolver problemas de mezclas.

Las funciones racionales incluso tienen aplicaciones en la medicina y la economía para modelar escenarios reales.

ÁLGEBRA
dominio y rango de funciones racionales

Relevante para

Conocer algunas aplicaciones de las funciones racionales.

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Aplicaciones de las funciones racionales en la vida cotidiana

Medicina 

Las funciones racionales tienen aplicaciones en la medicina. Antes de una operación, un paciente puede ser inyectado con alguna medicación. Cuando la concentración del fármaco en la sangre está a un nivel deseado, la operación puede continuar.

La concentración del fármaco en la sangre puede ser modelado usando una función racional. Por ejemplo, la función hipotética $latex C(t)=\frac{3t}{{{t}^2}+3}$ podría ayudar a un doctor a determinar la concentración del fármaco en la sangre después de unos minutos u horas.

Economía 

Las funciones racionales pueden ser usadas para modelar las funciones de costo promedio. Las funciones de costo promedio ayudan a un negocio a determinar el costo de producir un cierto producto.

Por ejemplo, supongamos que nuestra compañía produce linternas y queremos determinar el costo promedio para producir linternas. Podemos modelar el costo promedio para producir linternas usando la función $latex C(x)=\frac{(costo~fijo)+cx}{x}$, en donde el costo fijo es el costo necesario para mantener al negocio, c es el costo de cada linterna y x es el número de linternas producidas.

Compartir cosas y activos

Si existe una aplicación muy estándar de las funciones racionales en la vida real, esa es compartir cosas con los demás. El ejemplo más simple de la vida real es cuando compartes una galleta con un amigo y esa galleta se dividirá por la mitad, lo que ya es una aplicación de funciones racionales mediante división simple.

Lo mismo se puede decir en asuntos más complicados, como cuando comparte sus activos y propiedades reales con un ser querido, o al tener accionistas en una corporación donde cada accionista posee un activo financiero de la empresa.

Proporcionalidad

El numerador y el denominador de las funciones racionales son inversamente proporcionales entre sí cuando se equiparan a una determinada variable. Eso significa que, cuando una variable se equipara a una expresión racional, se dice que el numerador es directamente proporcional, mientras que el denominador es inversamente proporcional.

Una cantidad se puede considerar directamente proporcional cuando tiene un equilibrio o una relación adecuada con el tamaño o la cantidad de la variable igualada, como cuando una cantidad aumenta, la variable igualada también aumenta. Lo contrario sucede en una cantidad inversamente proporcional.

Tiempo

El tiempo se mide racionalmente. A medida que avanza el presente, el futuro se acerca, pero el pasado se vuelve más distante. Aparte de esto, cuando medimos diferentes unidades de tiempo, también usamos funciones racionales, especialmente cuando convertimos segundos a minutos a horas, etc., como segundos son sexagésimos de minutos, que son sexagésimos de horas.

Física

Las funciones racionales se utilizan en física para modelar fenómenos como el movimiento y la propagación de ondas. Por ejemplo, en mecánica, las funciones racionales se utilizan para modelar el movimiento de partículas y cuerpos rígidos.

En la propagación de ondas, las funciones racionales se utilizan para modelar la propagación de ondas electromagnéticas y acústicas.

Robótica

Las funciones racionales se utilizan en robótica para modelar la cinemática y la dinámica de los robots. Se utilizan para representar las relaciones entre las articulaciones y los actuadores de un robot y el movimiento del efector final del robot.

También se utilizan para diseñar controladores que estabilizan el movimiento del robot y logran el rendimiento deseado.

Geometría

Las funciones racionales se utilizan en geometría para estudiar curvas y superficies algebraicas. Se utilizan para representar las ecuaciones de estas curvas y superficies, y para analizar sus propiedades geométricas.


Resolver problemas con fórmulas racionales

Las funciones racionales pueden ser usadas para representar situaciones de la vida real y para encontrar soluciones a problemas reales. Ecuaciones que representan a variaciones directas, inversas o conjuntas son ejemplos de funciones racionales que pueden modelar situaciones de la vida cotidiana.

Para resolver problemas que involucran fórmulas racionales, es recomendable empezar resolviendo la fórmula para la variable especificada. Por ejemplo, tal vez tengamos un problema en el que tenemos que calcular el tiempo necesario para cubrir una cierta distancia viajando a una velocidad dada.

Los modelos algebraicos para tales situaciones involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de la distancia, $latex d=vt$. La distancia recorrida (d) es el producto de la velocidad (v) y el tiempo transcurrido (t). Usando álgebra, podemos escribir la fórmula en tres maneras diferentes:

$latex d=vt$

Encontrar el tiempo:  $latex t=\frac{d}{v}$

Encontrar la velocidad:  $latex v=\frac{d}{t}$

aplicaciones de la funcion racional 1

EJEMPLO 1

La fórmula para encontrar el volumen de un cono es $latex V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h$, en donde V es el volumen, r es el radio y h es la altura del cono. Reorganiza la fórmula para encontrar la altura (h).

Solución: Empezamos con la fórmula para el volumen de un cono:

$latex V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h$

Multiplicamos ambos lados por 3:

$latex 3V=\pi {{r}^2}h$

 Dividimos ambos lados por $latex \pi {{r}^2}$ para despejar la h:

$latex \frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=\frac{{\pi {{r}^2}h}}{{\pi {{r}^2}}}$

Simplificamos para encontrar la altura:

$latex \frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=h$

EJEMPLO 2

La fórmula para encontrar la densidad de un objeto es $latex D=\frac{m}{v}$, en donde es la densidad, m es la masa del objeto y v es el volumen del objeto. Reorganiza la fórmula para encontrar el volumen.

Solución: Empezamos con la fórmula para la densidad:

$latex D=\frac{m}{v}$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por v:

$latex vD=\frac{vm}{v}$

Ahora dividimos ambos lados por y simplificamos para encontrar el volumen:

$latex \frac{vD}{D}=\frac{vm}{vD}$

$latex v=\frac{m}{D}$


Resolver problemas de trabajo

Las funciones racionales y las ecuaciones racionales pueden ser usadas en una gran variedad de problemas relacionados con tasas, tiempo y trabajo. Es posible conocer cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo usando funciones y expresiones racionales.

Un problema de trabajo es un ejemplo de una de las aplicaciones de las funciones racionales. Los problemas de trabajo muchas veces nos piden calcular cuánto tiempo le tomará a diferentes personas que trabajan a diferentes ritmos para completar una tarea o trabajo.

Los modelos algebraicos para estas situaciones frecuentemente involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula del trabajo, $latex T=rt$. Esta fórmula es similar a la fórmula de la distancia $latex d=vt$.

La cantidad de trabajo (T) es igual al ritmo de trabajo (r) multiplicado por el tiempo trabajado (t). La fórmula del trabajo tiene tres versiones:

$latex T=rt$

$latex t=\frac{T}{r}$

$latex r=\frac{T}{t}$

Algunos problemas involucran a varias personas o máquinas que trabajan a diferentes ritmos. En estos casos, podemos sumar todos los ritmos de trabajo para obtener un ritmo de trabajo total.

aplicaciones de la funcion racional 2

EJEMPLO

Carlos se tarda 2 horas para regar 60 plantas. Manuela se tarda 3 horas para regar 60 plantas. Si es que trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les tomaría para regar 200 plantas?

Solución: Para facilitar la resolución del problema, podemos pensar en cuántas plantas puede regar cada persona en 1 hora:

Carlos: $$\frac{60~\text{plantas}}{2~\text{horas}}=\frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$

Manuela: $$\frac{60~\text{plantas}}{3~\text{horas}}=\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$

Combinamos sus ritmos de trabajo para determinar el ritmo de trabajo cuando trabajan juntos.

Manuela y Carlos: $$\frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}+\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}=\frac{50~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$

Usamos una de las fórmulas del trabajo para escribir una función racional, por ejemplo $latex r=\frac{W}{t}$. Sabemos r, el ritmo combinado de trabajo y sabemos W, la cantidad de trabajo a realizarse y tenemos que calcular para el tiempo. Entonces, tenemos:

$latex \frac{50}{1}=\frac{200}{t}$

Resolvemos la ecuación al multiplicar ambos lados por t:

$latex \frac{50}{1}t=\frac{200}{t}t$

$latex 50t=200$

$latex t=\frac{200}{50}$

$latex t=4$ horas

Entonces, si es que Carlos y Manuela trabajan juntos, les tomaría 4 horas para regar 200 plantas.


Problemas de mezclas

Las mezclas son formadas de proporciones de diferentes sustancias como por ejemplo, gases, agua, comida o químicos. Las mezclas son encontradas en muchos productos o incluso naturalmente a nuestro alrededor.

Por ejemplo, reacciones químicas y la manufactura involucran a mezclas. Matemáticamente, las mezclas pueden ser más interesantes cuando los componentes de la mezcla son añadidos a diferentes ritmos y concentraciones. En el siguiente ejemplo, miraremos la mezcla de agua con sal.

aplicaciones de la funcion racional mezclas

EJEMPLO

En un recipiente tenemos 20 litros de agua y mezclamos 1 libra de sal. Añadimos agua a un ritmo de 2 litros por minuto y al mismo tiempo añadimos sal a un ritmo de 0.2 libras por minuto. Encuentra la concentración en el recipiente después de 10 minutos.

Solución: Podemos usar t para representar al número de minutos desde que empezamos a añadir agua y sal. Dado que el agua incrementa a 2 litros por minuto y la sal a 0.2 libras por minuto, estos son ritmos constantes. Esto nos dice que la cantidad de agua y la cantidad de sal son lineales. Podemos escribir una ecuación para cada uno:

Agua: $latex A(t)=20+2t$ en litros

Sal: $latex S(t)=1+0.2t$ en libras

La concentración, C, será la proporción de libras de sal a litros de agua:

$latex C(t)=\frac{1+0.2t}{20+2t}$

La concentración después de 10 minutos está dada al evaluar a $latex C(t)$ en $latex t=10$:

$latex C(10)=\frac{1+2}{20+20}$

$latex =\frac{3}{40}$

Esto significa que la concentración es 3 libras de sal a 40 litros de agua.


Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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