Existen varias aplicaciones de las funciones racionales en la vida cotidiana. Podemos formar ecuaciones y fórmulas racionales para calcular velocidades o distancias, calcular el ritmo de trabajo de personas o máquinas y podemos resolver problemas de mezclas.

Las funciones racionales incluso tienen aplicaciones en la medicina y la economía para modelar escenarios reales.

ÁLGEBRA
dominio y rango de funciones racionales

Relevante para

Conocer algunas aplicaciones de las funciones racionales.

Ver aplicaciones

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Resolver problemas con fórmulas racionales

Las funciones racionales pueden ser usadas para representar situaciones de la vida real y para encontrar soluciones a problemas reales. Ecuaciones que representan a variaciones directas, inversas o conjuntas son ejemplos de funciones racionales que pueden modelar situaciones de la vida cotidiana.

Para resolver problemas que involucran fórmulas racionales, es recomendable empezar resolviendo la fórmula para la variable especificada. Por ejemplo, tal vez tengamos un problema en el que tenemos que calcular el tiempo necesario para cubrir una cierta distancia viajando a una velocidad dada.

Los modelos algebraicos para tales situaciones involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de la distancia, d=vt. La distancia recorrida (d) es el producto de la velocidad (v) y el tiempo transcurrido (t). Usando álgebra, podemos escribir la fórmula en tres maneras diferentes:

d=vt

Encontrar el tiempo:  t=\frac{d}{v}

Encontrar la velocidad:  v=\frac{d}{t}

aplicaciones de la funcion racional 1

EJEMPLO 1

La fórmula para encontrar el volumen de un cono es V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h, en donde V es el volumen, r es el radio y h es la altura del cono. Reorganiza la fórmula para encontrar la altura (h).

Solución: Empezamos con la fórmula para el volumen de un cono:

V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h

Multiplicamos ambos lados por 3:

3V=\pi {{r}^2}h

 Dividimos ambos lados por  \pi {{r}^2} para despejar la h:

\frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=\frac{{\pi {{r}^2}h}}{{\pi {{r}^2}}}

Simplificamos para encontrar la altura:

\frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=h

EJEMPLO 2

La fórmula para encontrar la densidad de un objeto es D=\frac{m}{v}, en donde es la densidad, m es la masa del objeto y v es el volumen del objeto. Reorganiza la fórmula para encontrar el volumen.

Solución: Empezamos con la fórmula para la densidad:

D=\frac{m}{v}

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por v:

vD=\frac{vm}{v}

Ahora dividimos ambos lados por y simplificamos para encontrar el volumen:

\frac{vD}{D}=\frac{vm}{vD}

v=\frac{m}{D}


Resolver problemas de trabajo

Las funciones racionales y las ecuaciones racionales pueden ser usadas en una gran variedad de problemas relacionados con tasas, tiempo y trabajo. Es posible conocer cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo usando funciones y expresiones racionales.

Un problema de trabajo es un ejemplo de una de las aplicaciones de las funciones racionales. Los problemas de trabajo muchas veces nos piden calcular cuánto tiempo le tomará a diferentes personas que trabajan a diferentes ritmos para completar una tarea o trabajo.

Los modelos algebraicos para estas situaciones frecuentemente involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula del trabajo, T=rt. Esta fórmula es similar a la fórmula de la distancia d=vt.

La cantidad de trabajo (T) es igual al ritmo de trabajo (r) multiplicado por el tiempo trabajado (t). La fórmula del trabajo tiene tres versiones:

T=rt

t=\frac{T}{r}

r=\frac{T}{t}

Algunos problemas involucran a varias personas o máquinas que trabajan a diferentes ritmos. En estos casos, podemos sumar todos los ritmos de trabajo para obtener un ritmo de trabajo total.

aplicaciones de la funcion racional 2

EJEMPLO

Carlos se tarda 2 horas para regar 60 plantas. Manuela se tarda 3 horas para regar 60 plantas. Si es que trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les tomaría para regar 200 plantas?

Solución: Para facilitar la resolución del problema, podemos pensar en cuántas plantas puede regar cada persona en 1 hora:

Carlos:  \frac{60~\text{plantas}}{2~\text{horas}}=\frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}.

Manuela:  \frac{60~\text{plantas}}{3~\text{horas}}=\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}.

Combinamos sus ritmos de trabajo para determinar el ritmo de trabajo cuando trabajan juntos.

Manuela y Carlos:  \frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}+\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}=\frac{50~\text{plantas}}{1~\text{hora}}.

Usamos una de las fórmulas del trabajo para escribir una función racional, por ejemplo r=\frac{W}{t}. Sabemos r, el ritmo combinado de trabajo y sabemos W, la cantidad de trabajo a realizarse y tenemos que calcular para el tiempo. Entonces, tenemos:

 \frac{50}{1}=\frac{200}{t}

Resolvemos la ecuación al multiplicar ambos lados por t:

 \frac{50}{1}t=\frac{200}{t}t

50t=200

t=\frac{200}{50}

t=4 horas

Entonces, si es que Carlos y Manuela trabajan juntos, les tomaría 4 horas para regar 200 plantas.


Problemas de mezclas

Las mezclas son formadas de proporciones de diferentes sustancias como por ejemplo, gases, agua, comida o químicos. Las mezclas son encontradas en muchos productos o incluso naturalmente a nuestro alrededor.

Por ejemplo, reacciones químicas y la manufactura involucran a mezclas. Matemáticamente, las mezclas pueden ser más interesantes cuando los componentes de la mezcla son añadidos a diferentes ritmos y concentraciones. En el siguiente ejemplo, miraremos la mezcla de agua con sal.

aplicaciones de la funcion racional mezclas

EJEMPLO

En un recipiente tenemos 20 litros de agua y mezclamos 1 libra de sal. Añadimos agua a un ritmo de 2 litros por minuto y al mismo tiempo añadimos sal a un ritmo de 0.2 libras por minuto. Encuentra la concentración en el recipiente después de 10 minutos.

Solución: Podemos usar t para representar al número de minutos desde que empezamos a añadir agua y sal. Dado que el agua incrementa a 2 litros por minuto y la sal a 0.2 libras por minuto, estos son ritmos constantes. Esto nos dice que la cantidad de agua y la cantidad de sal son lineales. Podemos escribir una ecuación para cada uno:

Agua: A(t)=20+2t en litros

Sal: S(t)=1+0.2t en libras

La concentración, C, será la proporción de libras de sal a litros de agua:

C(t)=\frac{1+0.2t}{20+2t}

La concentración después de 10 minutos está dada al evaluar a C(t) en t=10:

C(10)=\frac{1+2}{20+20}

=\frac{3}{40}

Esto significa que la concentración es 3 libras de sal a 40 litros de agua.

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Otras aplicaciones de las funciones racionales en la vida cotidiana

Medicina: Las funciones racionales tienen aplicaciones en la medicina. Antes de una operación, un paciente puede ser inyectado con alguna medicación. Cuando la concentración del fármaco en la sangre está a un nivel deseado, la operación puede continuar.

La concentración del fármaco en la sangre puede ser modelado usando una función racional. Por ejemplo, la función hipotética C(t)=\frac{3t}{{{t}^2}+3} podría ayudar a un doctor a determinar la concentración del fármaco en la sangre después de unos minutos u horas.

Economía: Las funciones racionales pueden ser usadas para modelar las funciones de costo promedio. Las funciones de costo promedio ayudan a un negocio a determinar el costo de producir un cierto producto.

Por ejemplo, supongamos que nuestra compañía produce linternas y queremos determinar el costo promedio para producir linternas. Podemos modelar el costo promedio para producir linternas usando la función C(x)=\frac{(costo~fijo)+cx}{x}, en donde el costo fijo es el costo necesario para mantener al negocio, c es el costo de cada linterna y x es el número de linternas producidas.


Véase también

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