Las funciones irracionales generalmente son consideradas como funciones que contienen el signo de radical. Por ejemplo, las funciones que contienen raíces cuadradas, raíces cúbicas u otras raíces, son consideradas funciones irracionales.
A continuación, veremos un resumen de las funciones irracionales junto con las características más importantes. También, exploraremos varios ejercicios resueltos para aprender cómo usar estas funciones.
Resumen de funciones irracionales
No existe una definición rigurosa de las funciones irracionales. Podemos decir que una función irracional es una función que no puede ser escrita como el cociente de dos polinomios, pero esta definición no es comúnmente usada.
Generalmente, la definición más usada es que una función irracional es una función que incluye variables en los radicales. Entonces, la forma fundamental de una función irracional es:
$latex \sqrt[n]{g(x)}$
en donde $latex g(x)$ es una función racional.
- Si es que el índice n del radical es impar, es posible calcular el dominio de todos los números reales.
- Si es que el índice n del radical es par, necesitamos que $latex g(x)$ sea positivo o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son reales.
La siguiente es una representación gráfica de la función irracional $latex \sqrt{5-x}$:
Ejercicios de funciones irracionales resueltos
En los siguientes ejercicios, podemos mirar cómo trabajar con las funciones irracionales. Estas funciones suelen ser un poco más difíciles de manipular, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos $latex f(x)=\sqrt{x-6}$, calcula $latex f(10)$.
Solución
Para evaluar una función, simplemente tenemos que usar el valor de entrada dado:
$latex f(10)=\sqrt{10-6}$
$latex =\sqrt{4}$
$latex =2$
EJERCICIO 2
Si es que tenemos $latex f(x)=-\sqrt{5-x}$, calcula $latex f(2)$.
Solución
Nuevamente, simplemente tenemos que usar el valor de entrada dado:
$latex f(2)=-\sqrt{5-2}$
$latex =-\sqrt{3}$
$latex \approx -1.732$
EJERCICIO 3
Gráfica de la función $latex f\left( x \right)=\sqrt{{2-x}}$.
Solución
Debemos empezar identificando el dominio para saber para qué valores de x estamos restringidos. Sabemos que no es posible tener números negativos dentro de raíces cuadradas.
Por ejemplo, si tuvieramos $latex x=4$, obtendríamos lo siguiente:
$latex f\left( x \right)=\sqrt{{2-4}}=\sqrt{{-2}}$
Podemos encontrar el dominio al tomar a la expresión que están dentro del radical y formar una desigualdad con “igual o mayor que cero” y resolver para x:
$latex 2-x\ge 0$
$latex 2\ge x$
$latex x\le 2$
Entonces, no debemos escoger ningún valor de x que es mayor que 2 para la tabla de valores que formaremos. Formando una tabla con varios valores de x, tenemos:
Ahora, podemos graficar a estos puntos en el plano cartesiano:
Trazamos una curva que pase por esos puntos sin extender la gráfica hacia la derecha de $latex x=2$:
No debemos trazar líneas rectas, ya que estas funciones producen curvas. Es recomendable tomar valores de x que están separados el uno del otro para obtener mejores puntos de referencia.
EJERCICIO 4
Gráfica de la función $latex f\left( x \right)=-\sqrt{{2x-3}}$.
Solución
Nuevamente, tenemos que empezar encontrando el dominio de la función.Entonces, formamos una desigualdad para obtener valores no-negativos en la expresión dentro del radical:
$latex 2x-3\ge 0$
$latex 2x\ge 3$
$latex x\ge \frac{3}{2}$
El primer punto en la gráfica será en $latex x=\frac{3}{2}$, entonces, empezaremos desde ahí y tomamos valores más grandes de x:
Luego de graficar los puntos y trazar la curva que pasa por esos puntos, obtenemos la siguiente gráfica:
EJERCICIO 5
Gráfica de la función $latex f\left( x \right)=2\sqrt{{3x+2}}-1$.
Solución
Formamos una desigualdad con la expresión dentro del radical para encontrar el dominio de la función:
$latex 3x+2\ge 0$
$latex 3x\ge -2$
$latex x\ge \frac{-2}{3}$
Empezamos con el punto $latex x=\frac{-2}{3}$, tomamos varios valores de x para obtener puntos que se ubican en la curva:
Graficando los puntos en el plano cartesiano y trazando la curva, obtenemos la siguiente gráfica:
La gráfica crece hacia la derecha indefinidamente, sin embargo, el dominio está restringido a $latex x\ge \frac{-2}{3}$ por lo que no tenemos más valores hacia la izquierda y la gráfica empieza en el punto ($latex \frac{-2}{3}, -1$).
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
