Ejercicios de Ecuaciones Logarítmicas Resueltos

Vemos que tenemos una suma de logaritmos con la misma base en el lado derecho, por lo que podemos usar la ley del producto para combinarlos. Esta es la ley del producto en caso de que no la recuerdes:

Entonces, tenemos:

$latex \log_{5}(x+1)+\log_{5}(3)=\log_{5}(15)$

$latex \log_{5}[(x+1)3]=\log_{5}(15)$

Podemos expandir la multiplicación para obtener:

$latex \log_{5}(3x+3)=\log_{5}(15)$

Los logaritmos tienen la misma base, por lo que podemos eliminarlos y formar una ecuación con los argumentos:

$latex 3x+3=15$

La ecuación lineal puede ser resuelta fácilmente:

$latex 3x+3=15$

$latex 3x=12$

$latex x=4$

En este caso, tenemos una suma de logaritmos en cada lado de la ecuación. Entonces, vamos a usar la ley del producto en ambos lados para obtener:

$$\log_{4}(2x+2)+\log_{4}(2)=\log_{4}(x+1)+\log_{4}(3)$$

$latex \log_{4}[(2x+2)2]=\log_{4}[(x+1)3]$

Podemos expandir la multiplicación en ambos lados para obtener:

$latex \log_{4}(4x+4)=\log_{4}(3x+3)$

Ahora, eliminamos los logaritmos y formamos una ecuación con los argumentos:

$latex 4x+4=3x+3$

La ecuación lineal puede ser resuelta fácilmente:

$latex 4x+4=3x+3$

$latex x=-1$

Podemos usar la ley del producto en la parte izquierda:

$$\log_{7}(x)+\log_{7}(x+5)=\log_{7}(2x+10)$$

$latex \log_{7}[x(x+5)]=\log_{7}(2x+10)$

Ahora, podemos distribuir la x para obtener:

$latex \log_{7}({{x}^2}+5x)=\log_{7}(2x+10)$

Podemos eliminar el logaritmo en ambos lados, ya que tienen la misma base y podemos formar una ecuación con los argumentos:

$latex {{x}^2}+5x=2x+10$

Obtuvimos una ecuación cuadrática. Podemos resolver esta ecuación al colocar a todos los términos de un solo lado y factorizar la ecuación:

$latex {{x}^2}+5x=2x+10$

$latex {{x}^2}+5x-2x-10=0$

$latex {{x}^2}+3x-10=0$

$latex (x+5)(x-2)=0$

Resolvemos para cada factor:

⇒   $latex x=-5$

⇒   $latex x=2$

Entonces, tenemos dos respuestas, $latex x=-5$ y $latex x=2$.

En este caso, tenemos restas de logaritmos en ambos lados de la ecuación, por lo que podemos aplicar la ley del cociente de logaritmos. En caso de que no la recuerde, la siguiente es la ley del cociente:

Entonces, aplicando esta ley a ambos lados, tenemos:

$$\log_{3}(x+3)-\log_{3}(2)=\log_{3}(x-1)-\log_{3}(7)$$

$latex \log_{3}(\frac{x+3}{2})=\log_{3}(\frac{x-1}{7})$

Las expresiones dentro de los logaritmos ya no pueden ser simplificadas. Sin embargo, podemos eliminar los logaritmos, ya que ambos tienen la misma base:

$latex \frac{x+3}{2}=\frac{x-1}{7}$

Podemos multiplicar en cruz para simplificar:

$latex 7(x+3)=2(x-1)$

Ahora, multiplicamos usando la propiedad distributiva:

$latex 7x+21=2x-2$

Resolvemos la ecuación lineal:

$latex 7x+21=2x-2$

$latex 5x=-23$

$latex x=-\frac{23}{5}$

Podemos observar que los logaritmos en esta ecuación no tienen una base. Cuando tenemos logaritmos sin base, asumimos que la base es 10. Los logaritmos con base 10 son denominados logaritmos comunes.

En esta ecuación, podemos empezar usando la ley de la potencia para reescribir al logaritmo que tiene una fracción en frente. En caso de que no la recuerdes, la siguiente es la ley de la potencia:

Entonces, tenemos:

$latex \log({{x}^2})+\frac{1}{2}\log(4)=\log({{x}^2}+16)$

$latex \log({{x}^2})+\log({{4}^{\frac{1}{2}}})=\log({{x}^2}+16)$

$latex \log({{x}^2})+\log(2)=\log({{x}^2}+16)$

Simplificamos el lado izquierdo usando la ley del producto:

$latex \log(2{{x}^2})=\log({{x}^2}+16)$

Podemos eliminar el logaritmo en cada lado, ya que tiene la misma base:

$latex 2{{x}^2}={{x}^2}+16$

Podemos despejar la x para resolver la ecuación cuadrática:

$latex 2{{x}^2}={{x}^2}+16$

$latex 2{{x}^2}-{{x}^2}=16$

$latex {{x}^2}=16$

Ahora, sacamos la raíz cuadrática de ambos lados:

$latex x=\sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

Entonces, tenemos dos respuestas, $latex x=4$ y $latex x=-4$.

Aquí tampoco tenemos una base en el logaritmo, por lo que sabemos que es un logaritmo común y que su base es 10.

En esta ecuación, tenemos un logaritmo de un solo lado. Esta es una ecuación del segundo caso mencionado arriba:

Podemos resolver esta ecuación al escribirla en su forma exponencial. Entonces, eliminamos el logaritmo de la parte izquierda y escribimos su argumento. En el lado derecho, 2 es el exponente y 10 es la base (la base del logaritmo):

$latex \log(4x+60)=2$

$latex 4x+60={{10}^2}$

Aplicamos el exponente y resolvemos la ecuación lineal:

$latex 4x+60=100$

$latex 4x=40$

$latex x=10$

Tenemos que mover a los logaritmos a un lado de la ecuación y a los términos constantes al otro lado:

$latex \log_{2}(3x)-2=\log_{2}(2x-5)$

$latex \log_{2}(3x)-\log_{2}(2x-5)=2$

Ahora, simplificamos la parte izquierda usando la ley del cociente:

$latex  \log_{2}(\frac{3x}{2x-5})=2$

Para resolver, tenemos que escribir a la ecuación en su forma exponencial. El argumento permanece en el mismo lugar y eliminamos el logaritmo. Elevamos al 2 (la base del logaritmo) al exponente 2:

$latex \frac{3x}{2x-5}={{2}^2}$

$latex \frac{3x}{2x-5}=4$

Simplificamos al multiplicar en cruz:

$latex 3x=4(2x-5)$

Distribuimos la multiplicación:

$latex 3x=8x-20$

Resolvemos la ecuación lineal:

$latex 3x=8x-20$

$latex -5x=-20$

$latex x=\frac{-20}{-5}$

$latex x=4$