Ejercicios con Números Complejos Resueltos y para Resolver

Podemos resolver ejercicios con números complejos, tenemos que empezar analizando la operación a realizarse. Si es que tenemos sumas y restas, simplemente tenemos que sumar o restar las partes real e imaginaria separadamente. Si es que tenemos multiplicaciones, usamos la propiedad distributiva para multiplicar cada parte de un número complejo por cada parte del otro número. En el caso de división, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado de número complejo en el denominador.

A continuación, exploraremos estas operaciones con varios ejercicios.

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Aprender a resolver ejercicios con números complejos.

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¿Cómo resolver operaciones con números complejos?

Para resolver operaciones con números complejos, debemos recordar que las partes real e imaginaria son consideradas separadamente y que, cuando tenemos i², esto es igual a -1. Las operaciones básicas que podemos realizar con números complejos son la suma, resta, multiplicación y división.

Suma y resta de números complejos

Para sumar y restar números complejos, tenemos que sumar o restar las partes real e imaginaria separadamente. Por ejemplo, si tenemos los números $z_{1}=4+2i$ y $z_{2}=3+5i$ , calculamos la suma de estos números de la siguiente manera:

$z_{1}+z_{2}=(4+3)+(2+5)i$

$=7+7i$

De igual forma, si es que queremos restar a estos números, calculados de la siguiente forma:

$z_{1}-z_{2}=(4-3)+(2-5)i$

$=1-3i$

Multiplicación de números complejos

Para obtener el producto de dos o más números complejos, tenemos que usar la propiedad distributiva y multiplicar cada una de las partes del primer número por cada una de las partes del segundo número.

Además, debemos recordar que cuando tenemos i², esto es igual a -1. Por ejemplo, multiplicamos a los números $z_{1}=2+6i$ y $z_{2}=3+5i$ de la siguiente manera:

$z_{1}z_{2}=(2+6i)(3+5i)$

$=(2)(3)+(2)(5i)+(6i)(3)+(6i)(5i)$

$=6+10i+18i+30{{i}^2}$

$=6+28i+30(-1)$

$=6+28i-30$

$=-24+28i$

División de números complejos

Para resolver una división de números complejos, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador.

Recordemos que el conjugado de un número complejo es obtenido al cambiar al signo del medio del número complejo original. Podemos resolver la división $\frac{4+5i}{2-3i}$ de la siguiente manera:

$\frac{4+5i}{2-3i}=\frac{4+5i}{2-3i}\times \frac{2+3i}{2+3i}$

$=\frac{8+12i+10i+15{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$

$=\frac{8+22i-15}{4+9}$

$=\frac{-7+22i}{13}$

$=-\frac{7}{13}+\frac{22}{13}i$

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Ejercicios con números complejos resueltos

Los siguientes ejercicios contienen varias operaciones básicas con números complejos como las mencionadas arriba. Cada ejercicio tiene su respectiva solución que puede ser usada para entender el razonamiento y el proceso usado para encontrar la respuesta.

EJERCICIO 1

Suma los números $z_{1}=5+8i$ y $z_{2}=2+9i$ .

Solución

Para sumar números complejos, sumamos sus partes real e imaginaria separadamente. El número complejo resultante tiene la forma $z=a+bi$ . Entonces, tenemos:

$a=5+2=7$

$b=8+9=17$

⇒ $z=7+17i$

EJERCICIO 2

Si tenemos los números $z_{1}=a+4i$ , $z_{2}=7+bi$ y $z_{3}=5+7i$ , ¿cuál es el valor de a y b si es que $z_{3}=z_{1}+z_{2}$

Solución

La parte real del número resultante es la suma de las partes reales de los números $z_{1}$ y $z_{2}$ y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números $z_{1}$ y $z_{2}$ . Entonces, tenemos:

$5=a+7$

⇒ $a=-2$

$7=4+b$

⇒ $b=3$

EJERCICIO 3

Resuelve la resta $z_{1}-z_{2}$ si es que tenemos $z_{1}=6-12i$ y $z_{2}=4+3i$ .

Solución

Para restar números complejos, restamos sus partes real e imaginaria separadamente. El número complejo resultante tiene la forma $z=a+bi$ . Entonces, tenemos:

$a=6-4=2$

$b=-12-3=-15$

⇒ $z=2-15i$

EJERCICIO 4

Si tenemos los números $z_{1}=a+6i$ , $z_{2}=-6+bi$ y $z_{3}=8-4i$ , ¿cuál es el valor de a y b si es que $z_{3}=z_{1}-z_{2}$ .

Solución

Podemos restar a las partes reales e imaginarias de los números $z_{1}$ y $z_{2}$ separadamente. Entonces, tenemos:

$8=a-(-6)$

⇒ $a=2$

$-4=6-b$

⇒ $b=10$

EJERCICIO 5

Resuelve la multiplicación de los números complejos $(3+2i)(4+3i)$ .

Solución

Para resolver esta multiplicación, tenemos que multiplicar cada uno de los términos del paréntesis de la izquierda por cada uno de los términos del paréntesis de la derecha. Entonces, tenemos:

$(3+2i)(4+3i)$

$=(3)(4)+(3)(3i)+(2i)(4)+(2i)(3i)$

$=12+9i+8i+6{{i}^2}$

$=12+17i+6{{i}^2}$

Recordamos que ${{i}^2}=-1$ , por lo que tenemos:

$=12+17i+6(-1)$

$=12+17i-6$

$=6+17i$

EJERCICIO 6

¿Cuál es el producto de $z_{1}=(5-3i)$ y $z_{2}=(-2+4i)$ .

Solución

Formamos y expandimos la multiplicación de los números complejos:

$z_{1}z_{2}=(5-3i)(-2+4i)$

$=(5)(-2)+(5)(4i)+(-3i)(-2)+(-3i)(4i)$

$=-10+20i+6i-12{{i}^2}$

$=-10+26i-12{{i}^2}$

Nuevamente, usamos el hecho que ${{i}^2}=-1$ :

$=-10+26i+12$

$=2+26i$

EJERCICIO 7

Resuelve la división $\frac{5+2i}{3-5i}$ .

Solución

Para resolver una división de números complejos, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador. En este caso, el conjugado del denominador es $3+5i$ . Entonces, tenemos:

$\frac{5+2i}{3-5i}=\frac{5+2i}{3-5i}\times \frac{3+5i}{3+5i}$

$=\frac{15+25i+6i+10{{i}^2}}{9+15i-15i-25{{i}^2}}$

$=\frac{15+31i-10}{9+25}$

$=\frac{5+31i}{34}$

Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribir a la parte real e imaginaria separadamente:

$=\frac{5}{34}+\frac{31}{34}i$

EJERCICIO 8

Resuelve la división $\frac{4+2i}{2+3i}$ .

Solución

En este caso, el conjugado del denominador es $2-3i$ , por lo que multiplicamos tanto al numerador como al denominador por ese número:

$\frac{4+2i}{2+3i}=\frac{4+2i}{2+3i}\times \frac{2-3i}{2-3i}$

$=\frac{8-12i+4i-6{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$

$=\frac{8-8i+6}{4+9}$

$=\frac{14-8i}{13}$

Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribir a la parte real e imaginaria separadamente:

$=\frac{14}{13}-\frac{8}{13}i$

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Ejercicios con números complejos para resolver

Practica lo aprendido sobre las operaciones con números complejos al resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con estos ejercicios, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.