Ecuación de la recta tangente a una curva – Paso a paso

La ecuación de la recta tangente a una curva puede ser encontrada al encontrar la pendiente de la recta tangente y usar las coordenadas del punto dado. A su vez, podemos determinar la pendiente de la recta tangente al derivar a la función y usar el valor de x del punto dado.

A continuación, aprenderemos cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva paso a paso. Conoceremos el proceso que podemos usar y lo aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Diagrama de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto P

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva.

Ver proceso

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Diagrama de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto P

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva.

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Proceso para encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva

La ecuación de la recta tangente a una curva puede ser encontrada usando la forma $latex y=mx+b$, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto en y.

Diagrama de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto P

Entonces, si es que queremos encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en el punto $latex (x_{1},~y_{1})$, podemos seguir los siguientes pasos:


Paso 1: Encontrar la derivada de la función que representa a la curva.

Paso 2: Usar la derivada de la función para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto $latex (x_{1},~y_{1})$. Para esto, usamos la coordenada en x del punto en la derivada de la función. Es decir, tenemos $latex m=f'(x_{1})$.

Paso 3: Usar la ecuación $latex y=mx+b$ con el valor de la pendiente encontrada en el paso 2 y sustituir las coordenadas en x y en y del punto dado para encontrar el valor de b. Es decir, tenemos $latex y_{1}=mx_{1}=b$.

Paso 4: Sustituir los valores de m y b en la ecuación $latex y=mx+b$.

Mira los siguientes ejemplos para conocer cómo aplicar estos pasos para encontrar la ecuación de la recta tangente a una función.


Ejemplos de la ecuación de la recta tangente a una curva

En los siguientes ejemplos aplicamos los pasos vistos arriba para encontrar la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones.

EJEMPLO 1

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva $latex f(x)=x^2$ en el punto P=(2, 4).

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

Paso 2: Encontramos la pendiente de la recta tangente en el punto (2, 4) al evaluar f'(2). Entonces, tenemos:

$latex m=f'(2)=2(2)$

$latex m=4$

Paso 3: Ahora, tenemos la ecuación $latex y=4x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (2, 4) en la ecuación:

$latex y=4x+b$

$latex 4=4(2)+b$

$latex b=-4$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 4) es $latex y=4x-4$.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la ecuación de la tangente a $latex f(x)=3x^2-3x$ en el punto (1, 3)?

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=3x^2-3x$

$latex f'(x)=6x-3$

Paso 2: La pendiente de la recta tangente en el punto (1, 3) es encontrada al evaluar f'(1). Entonces, tenemos:

$latex m=f'(1)=6(1)-3$

$latex m=3$

Paso 3: Con la pendiente del paso 2 formamos la ecuación $latex y=3x+b$. Entonces, encontramos el valor de b, usando el punto (1, 3) en la ecuación:

$latex y=3x+b$

$latex 3=3(1)+b$

$latex b=0$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (1, 3) es $latex y=3x$.

EJEMPLO 3

Encuentra la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=x^3+\frac{4}{x}$ en el punto (2, 5).

Paso 1: Escribimos a la expresión radical como un exponente numérico y encontramos su derivada:

$latex f(x)=x^3+4x^{-1}$

$latex f'(x)=3x^2-4x^{-2}$

$latex f'(x)=3x^2-\frac{4}{x^2}$

Paso 2: Evaluamos f'(2) para encontrar la pendiente de la recta tangente en (2, 5). Entonces, tenemos:

$latex m=f'(2)=3(2)^2-\frac{4}{2^2}$

$latex =12-1$

$latex m=11$

Paso 3: Con la pendiente del paso 2, tenemos la ecuación $latex y=11x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (2, 5) en la ecuación:

$latex y=11x+b$

$latex 5=11(2)+b$

$latex b=-17$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 5) es $latex y=3x-17$.

EJEMPLO 4

Encuentra la recta tangente a $latex f(x) = -x^{-2}+\sqrt{x}$ en el punto (1, 3).

Paso 1: Escribimos a la raíz cuadrada como un exponente numérico y encontramos la derivada de la función:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Paso 2: Evaluamos f'(1) para encontrar la pendiente de la recta tangente en (1, 3). Entonces, tenemos:

$$m=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m=\frac{5}{2}$

Paso 3: Ahora, tenemos la ecuación $latex y=\frac{5}{2}x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (1, 3) en la ecuación:

$$y=\frac{5}{2}x+b$$

$$3=\frac{5}{2}(1)+b$$

$latex b=\frac{1}{2}$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (1, 3) es $latex y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$.

EJEMPLO 5

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$ en el punto (0, 1)?

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Paso 2: Encontramos la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) al evaluar f'(0). Entonces, tenemos:

$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m=1+0$

$latex m=1$

Paso 3: Usando la pendiente $latex m=1$, tenemos la ecuación $latex y=x+b$. Ahora, encontramos el valor de b, usando el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 1) es $latex y=x+1$.

EJEMPLO 6

Encuentra la recta tangente a $latex f(x)=x^2-3x+1$ en el punto en donde la curva corta al eje y.

Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

Paso 2: El enunciado no nos da un punto directamente, pero nos dice que encontremos la tangente en el punto donde la curva corta al eje y. Entonces, tenemos que encontrar las coordenadas de ese punto.

Cuando la curva corta al eje y, sabemos que las coordenadas en x deben ser 0. Entonces, tenemos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Entonces el punto es (0, 1). Encontramos la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) al evaluar f'(0). Entonces, tenemos:

$latex m=f'(0)=2(0)-3$

$latex m=-3$

Paso 3: Hemos encontrado la ecuación $latex y=-3x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=-3x+b$

$latex 1=-3(0)+b$

$latex b=1$

Paso 4: La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 1) es $latex y=-3x+1$.

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Ecuación de la recta tangente a una curva – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando todo lo aprendido sobre la recta tangente a una curva.

Encuentra la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=x^2$ en el punto (3, 9).

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¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=\frac{1}{x^2}$ en el punto (-1, 1)?

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Encuentra la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=x^2+3$ en el punto (2, 7).

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Encuentra la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=2x^3-1$ cuando $latex x=1$.

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Encuentra la ecuación de la recta tangente a $latex f(x)=\frac{9}{x}$ cuando $latex x=-3$.

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Véase también

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