La ecuación de una recta puede ser encontrada a través de varios métodos dependiendo en la información disponible. La forma dos puntos es uno de esos métodos. Esta forma es usada para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.
A continuación, miraremos cómo encontrar la ecuación cuando tenemos dos puntos y exploraremos varios ejercicios para entender completamente el proceso usado.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
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Aprender a encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
¿Cómo encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?
Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos recordamos que cada vez que queremos obtener la ecuación de una recta, necesitamos dos cosas: la pendiente y un punto.
Entonces, si es que solo tenemos dos puntos y no la pendiente, simplemente usamos los dos puntos para encontrar la pendiente usando esta ecuación:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
Luego de obtener la pendiente, usamos la forma punto pendiente $latex y=mx+b$ en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y. El intercepto en y puede ser encontrado usando uno de los puntos dados.
Alternativamente, podemos usar la forma dos puntos de una recta. Dados dos puntos $latex (x_{1}, ~y_{1})$ y $latex (x_{2},~ y_{2})$, tenemos lo siguiente:
| $latex y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$ o $latex y-y_{2}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{2})$ |
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos ejercicios resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos usando ambos métodos para encontrar la ecuación de la recta usando dos puntos indicados arriba. La solución muestra el proceso detallado a seguir para obtener la ecuación de la recta.
EJERCICIO 1
Encuentra la ecuación de una línea que pasa a través de los puntos (3, 3) y (-1, 1).
Solución
La siguiente gráfica muestra a la línea que pasa por los dos puntos:
Los dos puntos son (-1, 1) y (3, 3). Entonces, podemos empezar encontrando la pendiente de la línea:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{3-1}{3-(-1)}$
$latex m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
Ahora, usamos el punto (-1, 1) para encontrar el intercepto en y:
$latex y=mx+b$
$latex 1= \frac{1}{2}(-1)+b$
$latex b= \frac{3}{2}$
Entonces, la ecuación de la recta es:
$latex y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
EJERCICIO 2
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -1) y (1, 2).
Solución
La siguiente es la gráfica de la recta que pasa a través de los puntos dados:
Dado que conocemos dos puntos en la recta, podemos usar la fórmula dos puntos de la recta:
$latex y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$
$latex y-(-1)=\frac{2-(-1)}{1-(-2)}(x-(-2))$
$latex y+1=\frac{3}{3}(x+2)$
$latex y+1=1(x+2)$
$latex y+1=x+2$
$latex y=x+1$
EJERCICIO 3
Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (-2, 2) y (2, 0).
Solución
La recta que pasa por ambos puntos está graficada en el siguiente plano:
Tenemos que la recta pasa por los puntos (-2, 2) y (2, 0). Entonces, empezamos encontrando la pendiente de la línea:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{0-2}{2-(-2)}$
$latex m=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$
Ahora, usamos el punto (2, 0) para encontrar el intercepto en y:
$latex y=mx+b$
$latex 0= -\frac{1}{2}(2)+b$
$latex b= 1$
Entonces, la ecuación de la recta es:
$latex y=-\frac{1}{2}x+1$
EJERCICIO 4
Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (-1, 2) y (1, -2).
Solución
La siguiente gráfica muestra a la recta que pasa por los puntos dados:
La recta pasa por los puntos (-1, 2) y (1, -2), entonces, podemos usar la fórmula de la recta:
$latex y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$
$latex y-2=\frac{-2-2}{1-(-1)}(x-(-1))$
$latex y-2=\frac{-4}{2}(x+1)$
$latex y-2=-2(x+1)$
$latex y-2=-2x-2$
$latex y=-2x$
EJERCICIO 5
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -2) y (3, 0).
Solución
Podemos ver a la recta que pasa por los puntos dados en la gráfica:
Los dos puntos son (-3, -2) y (3, 0). Entonces, tenemos que encontrar la pendiente de la línea:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{0-(-2)}{3-(-3)}$
$latex m=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
Ahora, usamos el punto (3, 0) para encontrar el intercepto en y:
$latex y=mx+b$
$latex 0= \frac{1}{3}(3)+b$
$latex b= -1$
Entonces, la ecuación de la recta es:
$latex y=\frac{1}{3}x-1$
EJERCICIO 6
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (3, -3).
Solución
La siguiente es la gráfica de la recta que pasa a través de los puntos dados:
Tenemos los puntos (-3, -1) y (3, -3), entonces, podemos usar la fórmula de la recta:
$latex y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$
$latex y-(-1)=\frac{-3-(-1)}{3-(-3)}(x-(-3))$
$latex y+1=\frac{-2}{6}(x+3)$
$latex y+1=\frac{-1}{3}x-1$
$latex y=-\frac{1}{3}x-2$
Ejercicios de ecuación de la recta que pasa por dos puntos para resolver
Practica y pon a prueba tus conocimientos sobre la ecuación de la recta que pasa por dos puntos con los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que escogiste la respuesta correcta.
Mira los ejercicios resueltos de arriba si es que tienes algún problema.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre expresiones algebraicas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
