La ecuación de una recta puede ser encontrada a través de varios métodos dependiendo en la información disponible. La forma dos puntos es uno de esos métodos. Esta forma es usada para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.

A continuación, miraremos cómo encontrar la ecuación cuando tenemos dos puntos y exploraremos varios ejercicios para entender completamente el proceso usado.

ÁLGEBRA
ejercicios de funciones lineales

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ver ejercicios

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¿Cómo encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos recordamos que cada vez que queremos obtener la ecuación de una recta, necesitamos dos cosas: la pendiente y un punto.

Entonces, si es que solo tenemos dos puntos y no la pendiente, simplemente usamos los dos puntos para encontrar la pendiente usando esta ecuación: 

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Luego de obtener la pendiente, usamos la forma punto pendiente y=mx+b en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y. El intercepto en y puede ser encontrado usando uno de los puntos dados.

Alternativamente, podemos usar la forma dos puntos de una recta. Dados dos puntos (x_{1}, ~y_{1}) y (x_{2},~ y_{2}), tenemos lo siguiente:

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})

o

y-y_{2}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{2})

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando ambos métodos para encontrar la ecuación de la recta usando dos puntos indicados arriba. La solución muestra el proceso detallado a seguir para obtener la ecuación de la recta.

EJERCICIO 1

Encuentra la ecuación de una línea que pasa a través de los puntos (3, 3) y (-1, 1).

La siguiente gráfica muestra a la línea que pasa por los dos puntos:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

Los dos puntos son (-1, 1) y (3, 3). Entonces, podemos empezar encontrando la pendiente de la línea:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

m=\frac{3-1}{3-(-1)}

m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Ahora, usamos el punto (-1, 1) para encontrar el intercepto en y:

y=mx+b

1= \frac{1}{2}(-1)+b

b= \frac{3}{2}

Entonces, la ecuación de la recta es:

y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

EJERCICIO 2

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -1) y (1, 2).

La siguiente es la gráfica de la recta que pasa a través de los puntos dados:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

Dado que conocemos dos puntos en la recta, podemos usar la fórmula dos puntos de la recta:

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})

y-(-1)=\frac{2-(-1)}{1-(-2)}(x-(-2))

y+1=\frac{3}{3}(x+2)

y+1=1(x+2)

y+1=x+2

y=x+1

EJERCICIO 3

Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (-2, 2) y (2, 0).

La recta que pasa por ambos puntos está graficada en el siguiente plano:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

Tenemos que la recta pasa por los puntos (-2, 2) y (2, 0). Entonces, empezamos encontrando la pendiente de la línea:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

m=\frac{0-2}{2-(-2)}

m=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}

Ahora, usamos el punto (2, 0) para encontrar el intercepto en y:

y=mx+b

0= -\frac{1}{2}(2)+b

b= 1

Entonces, la ecuación de la recta es:

y=-\frac{1}{2}x+1

EJERCICIO 4

Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (-1, 2) y (1, -2).

La siguiente gráfica muestra a la recta que pasa por los puntos dados:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

La recta pasa por los puntos (-1, 2) y (1, -2), entonces, podemos usar la fórmula de la recta:

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})

y-2=\frac{-2-2}{1-(-1)}(x-(-1))

y-2=\frac{-4}{2}(x+1)

y-2=-2(x+1)

y-2=-2x-2

y=-2x

EJERCICIO 5

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -2) y (3, 0).

Podemos ver a la recta que pasa por los puntos dados en la gráfica:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

Los dos puntos son (-3, -2) y (3, 0). Entonces, tenemos que encontrar la pendiente de la línea:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

m=\frac{0-(-2)}{3-(-3)}

m=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Ahora, usamos el punto (3, 0) para encontrar el intercepto en y:

y=mx+b

0= \frac{1}{3}(3)+b

b= -1

Entonces, la ecuación de la recta es:

y=\frac{1}{3}x-1

EJERCICIO 6

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (3, -3).

La siguiente es la gráfica de la recta que pasa a través de los puntos dados:

grafica de una recta que pasa por dos puntos

Tenemos los puntos (-3, -1) y (3, -3), entonces, podemos usar la fórmula de la recta:

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})

y-(-1)=\frac{-3-(-1)}{3-(-3)}(x-(-3))

y+1=\frac{-2}{6}(x+3)

y+1=\frac{-1}{3}x-1

y=-\frac{1}{3}x-2

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Ejercicios de ecuación de la recta que pasa por dos puntos para resolver

Practica y pon a prueba tus conocimientos sobre la ecuación de la recta que pasa por dos puntos con los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que escogiste la respuesta correcta.

Mira los ejercicios resueltos de arriba si es que tienes algún problema.

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 4) y (1, -2).

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Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4, 2) y (2, 5).

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Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, -3) y (2, 0).

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Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 6) y (1, 0).

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