Ecuación de la recta normal a una curva – Paso a paso

La ecuación de la recta normal a una curva puede ser encontrada al encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto dado usando la derivada de la función. Luego, la pendiente de la recta normal es igual a -1/m. Por último, usamos la forma y=mx+b con las coordenadas del punto para encontrar el valor de b.

A continuación, veremos el proceso que podemos usar para encontrar la ecuación de la recta normal a una curva. Además, usaremos este proceso para resolver algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Diagrama de la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la recta normal a una curva.

Ver proceso

CÁLCULO
Diagrama de la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la recta normal a una curva.

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Proceso para encontrar la ecuación de la recta normal a una curva

La recta norma a una curva en un punto P es la línea recta que pasa a través del punto P y que es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto P.

Diagrama de la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P

Dado que la tangente y la normal son perpendicular la una con la otra, si es que la pendiente de la tangente es $latex m$, entonces la pendiente de la normal es igual a $latex -\frac{1}{m}$.

Entonces, si es que queremos encontrar la ecuación de la recta normal a una curva en el punto $latex (x_{1},~y_{1})$, podemos seguir los siguientes pasos:


Paso 1: Obtener la derivada de la función que representa a la curva.

Paso 2: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $latex (x_{1},~y_{1})$. Para esto, usamos la coordenada en x del punto en la derivada de la función. Es decir, tenemos $latex m_{1}=f'(x_{1})$.

Paso 3: Usar la pendiente del paso 2 para encontrar la pendiente de la recta normal a la curva. La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=-\frac{1}{m_{1}}$.

Paso 4: Sustituye la pendiente del paso 3 en la forma $latex y=mx+b$ y usa las coordenadas en x y en y del punto dado para encontrar el valor de b. Es decir, tenemos $latex y_{1}=mx_{1}=b$.

Paso 5: Usar los valores de m y b en la forma $latex y=mx+b$ para obtener la ecuación de la recta.


Ejemplos resueltos de la ecuación de la recta normal a una curva

Los siguientes ejercicios son resueltos usando el proceso visto arriba para encontrar la ecuación de la recta normal a una curva. Cada ejercicio tiene una solución detallada.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la curva $latex f(x)=x^2$ en el punto P=(3, 2)?

Paso 1: Tenemos que empezar encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

Paso 2: La pendiente de la recta tangente en el punto (3, 2) es igual a $latex f'(3)$. Entonces, tenemos:

$latex m_{1}=f'(3)=2(3)$

$latex m_{1}=6$

Paso 3: La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=-\frac{1}{6}$.

Paso 4: Con la pendiente del paso 3, tenemos la ecuación $latex y=-\frac{1}{6}x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (3, 2) en la ecuación:

$latex y=-\frac{1}{6}x+b$

$latex 2=-\frac{1}{6}(3)+b$

$latex b=\frac{5}{2}$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (3, 2) es $latex y=-\frac{1}{6}x+\frac{5}{2}$.

EJEMPLO 2

Encuentra la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=2x^3-3x$ en el punto (1, 3).

Paso 1: Tenemos que usar la derivada de la función. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=2x^3-3x$

$latex f'(x)=6x-3$

Paso 2: Para encontrar la pendiente de la recta tangente en (1, 3) evaluamos $latex f'(1)$. Entonces, tenemos:

$latex m_{1}=f'(1)=6(1)-3$

$latex m_{1}=3$

Paso 3: Usamos la pendiente del paso 2 para encontrar la pendiente de la recta normal. Entonces, la pendiente de la recta normal es $latex m=-\frac{1}{3}$.

Paso 4: Ahora, podemos formar la ecuación $latex y=-\frac{1}{3}x+b$. Entonces, vamos a buscar el valor de b, usando el punto (1, 3) en la ecuación:

$latex y=3x+b$

$latex 3=-\frac{1}{3}(1)+b$

$latex b=\frac{10}{3}$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (1, 3) es $latex y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$.

EJEMPLO 3

¿Cuál es la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=x^3+\frac{8}{x}$ en el punto (2, -2)?

Paso 1: Para obtener la derivada de la función, escribimos al radical como un exponente numérico:

$latex f(x)=x^3+8x^{-1}$

$latex f'(x)=x^2-8x^{-2}$

$latex f'(x)=x^2-\frac{8}{x^2}$

Paso 2: Vamos a encontrar la pendiente de la tangente en (2, -2) usando $latex f'(2)$:

$latex m_{1}=f'(2)=(2)^2-\frac{8}{2^2}$

$latex =4-2$

$latex m_{1}=2$

Paso 3: Con la pendiente del paso 2, encontramos la pendiente de la recta normal. Entonces, tenemos $latex m=-\frac{1}{2}$.

Paso 4: Hemos formado la ecuación $latex y=-\frac{1}{2}x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (2, -2) en la ecuación:

$latex y=-\frac{1}{2}x+b$

$latex -2=-\frac{1}{2}(2)+b$

$latex b=-1$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (2, -2) es $latex y=-\frac{1}{2}x-1$.

EJEMPLO 4

¿Cuál es la recta normal a $latex f(x) = -x^{-2}+\sqrt{x}$ en el punto (1, 3)?

Paso 1: Obtenemos la derivada de la función al escribir a la raíz cuadrada como un exponente numérico:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Paso 2: La pendiente de la recta tangente en (1, 3) es igual a $latex f'(1)$:

$$m_{1}=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m_{1}=\frac{5}{2}$

Paso 3: La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=-\frac{2}{5}$.

Paso 4: Usando la pendiente del paso 3 formamos la ecuación $latex y=-\frac{2}{5}x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (1, 3) en la ecuación:

$$y=-\frac{2}{5}x+b$$

$$3=-\frac{2}{5}(1)+b$$

$latex b=\frac{17}{2}$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (1, 3) es $latex y=-\frac{2}{5}x+\frac{17}{2}$.

EJEMPLO 5

Si tenemos la función $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$, encuentra la recta normal en el punto (0, 1).

Paso 1: Necesitamos la derivada de la función para encontrar la pendiente de la recta. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Paso 2: La pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) es encontrada al evaluar $latex f'(0)$. Entonces, tenemos:

$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m_{1}=1+0$

$latex m_{1}=1$

Paso 3: La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=-1$.

Paso 4: Tenemos la ecuación $latex y=-x+b$. Ahora, encontramos el valor de b, usando el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=-x+b$

$latex 1=-0+b$

$latex b=1$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (0, 1) es $latex y=-x+1$.

EJEMPLO 6

Si tenemos la función $latex f(x)=x^2-3x+1$, encuentra la ecuación de la recta normal en el punto en donde la curva corta al eje y.

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

Paso 2: En este caso, no tenemos las coordenadas del punto directamente. Sin embargo, sabemos que la curva corta al eje y en ese punto. Entonces, vamos a encontrar las coordenadas de ese punto.

Cuando la curva corta al eje y, sabemos que las coordenadas en x deben ser 0. Entonces, tenemos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Entonces el punto es (0, 1). La pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) es igual a $latex f'(0)$:

$latex m_{1}=f'(0)=2(0)-3$

$latex m_{1}=-3$

Paso 3: La pendiente de la recta normal es $latex m=\frac{1}{3}$.

Paso 4: Hemos encontrado la ecuación $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex 1=\frac{1}{3}(0)+b$

$latex b=1$

Paso 5: La ecuación de la recta normal en el punto (0, 1) es $latex y=\frac{1}{3}x+1$.

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Ecuación de la recta normal a una curva – Ejercicios para resolver

Usa todo lo aprendido en este artículo para resolver los siguientes ejercicios y encontrar la recta normal a las funciones dadas.

Encuentra la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=x^2-3x$ en donde $latex x=2$.

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¿Cuál es la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=x^3+4$ en donde $latex x=-1$?

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Encuentra la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=\frac{6}{x}$ en donde $latex x=3$.

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Encuentra la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=2\sqrt{x}$ en donde $latex x=9$.

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Encuentra la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=6-\frac{1}{x^2}$ en donde $latex x=1$.

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Véase también

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