Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones algebraicas que tienen la forma ax²+bx+c=0. Considerando esta forma, el discriminante de una ecuación cuadrática es el valor b²-4ac. Este valor va adentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática general y determina el tipo de soluciones que tendremos.
A continuación, conoceremos todo lo relacionado con el discriminante de una ecuación cuadrática. Además, usaremos su fórmula para resolver algunos ejercicios de práctica.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a sobre el discriminante de una ecuación cuadrática.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a sobre el discriminante de una ecuación cuadrática.
Fórmula del discriminante de una ecuación cuadrática y aplicaciones
Cuando tenemos a ecuaciones cuadráticas escritas en la forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, el discriminante está dado por la siguiente fórmula:
| $latex D=b^2-4ac$ |
El valor del discriminante nos da información sobre el tipo de raíces que obtendremos en la ecuación cuadrática dada. Entonces, tenemos lo siguiente:
- Cuando $latex b^2-4ac>0$, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales.
- Cuando $latex b^2-4ac<0$, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales.
- Cuando $latex b^2-4ac=0$, la ecuación cuadrática tiene una raíz repetida.
Podemos entender esto de mejor manera si es que recordamos que la fórmula cuadrática general, la cual nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática, es la siguiente:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Entonces, podemos observar que el discriminante es la expresión dentro de la raíz cuadrada de la fórmula general. Por lo tanto, cuando el valor dentro de la raíz cuadrada es positivo, tendremos dos raíces reales.
Por otro lado, cuando el valor dentro de la raíz cuadrada es negativo, no tendremos raíces reales (pero sí raíces imaginarias o complejas). Y por último, si es que el discriminante es igual a cero, tendremos una sola raíz.
El discriminante de una ecuación cuadrática indica si es que la gráfica de la ecuación cuadrática corta al eje x en dos puntos diferentes, no corta al eje x o toca al eje x en un solo punto, como vemos en el siguiente diagrama:
Discriminante de una ecuación cuadrática – Ejercicios resueltos
La fórmula del discriminante de una ecuación cuadrática es usada para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo.
EJERCICIO 1
Encuentra el discriminante de la ecuación $latex x^2+4x+5=0$.
Solución
Usando los valores $latex a=1$, $latex b=4$ y $latex c=5$ en la fórmula del discriminante, tenemos:
$latex D=b^2-4ac$
$latex D=4^2-4(1)(5)$
$latex D=16-20$
$latex D=-4$
El discriminante de la ecuación es $latex D=-4$.
EJERCICIO 2
Determina el discriminante de la ecuación $latex -2x^2+4x-2$.
Solución
Tenemos los valores $latex a=-2$, $latex b=4$ y $latex c=-2$. Usando estos valores en la fórmula del discriminante, tenemos:
$latex D=b^2-4ac$
$latex D=4^2-4(-2)(-2)$
$latex D=16-16$
$latex D=0$
El discriminante de la ecuación es $latex D=0$.
EJERCICIO 3
Usa el discriminante para demostrar que la ecuación $latex 5x^2+4x+10=0$ no tiene soluciones reales.
Solución
Usando la fórmula del discriminante con los valores $latex a=5$, $latex b=4$ y $latex c=10$, tenemos:
$latex D=b^2-4ac$
$latex D=4^2-4(5)(10)$
$latex D=16-200$
$latex D=-184$
El discriminante es negativo, por lo tanto, la ecuación no tiene raíces reales. Esto se debe a que tenemos un número negativo dentro de la raíz cuadrada de la fórmula general.
EJERCICIO 4
¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación $latex -3x^2-2x+5=0$?
Solución
Usamos los valores $latex a=-3$, $latex b=-2$ y $latex c=5$ en la fórmula del discriminante y tenemos:
$latex D=b^2-4ac$
$latex D=(-2)^2-4(-3)(5)$
$latex D=4+60$
$latex D=64$
El discriminante es positivo, por lo que la ecuación tiene dos raíces reales.
EJERCICIO 5
Encuentra el valor de k en la ecuación $latex 3x^2-6x+k=0$, considerando que la ecuación tiene una sola raíz repetida.
Solución
En este caso, tenemos $latex a=3$, $latex b=-6$ y $latex c=k$. Para encontrar el valor de k, tenemos que usar la fórmula del discriminante que tiene un valor igual a cero, ya que la ecuación tiene una sola raíz:
$latex D=b^2-4ac=0$
$latex (-6)^2-4(3)(k)=0$
$latex 36-12k=0$
$latex -12k=-36$
$latex k=3$
Entonces, si es que la ecuación cuadrática tiene una sola raíz repetida, el valor de k es 3.
EJERCICIO 6
Encuentra el valor de k en la ecuación $latex kx^2+5x-4=0$ si es que la ecuación tiene una sola raíz.
Solución
Tenemos los valores $latex a=k$, $latex b=5$ y $latex c=-4$. Usamos la fórmula del discriminante, lo igualamos a cero y resolvemos para k:
$latex D=b^2-4ac=0$
$latex (5)^2-4(k)(-4)=0$
$latex 25+16k=0$
$latex 16k=-25$
$latex k=-\frac{25}{16}$
Entonces, si es que la ecuación cuadrática tiene una sola raíz repetida, el valor de k es 25/16.
EJERCICIO 7
Demuestra que $latex y=2x^2+7x+7$ siempre es positiva usando el discriminante.
Solución
Usando los valores $latex a=2$, $latex b=7$ y $latex c=7$ en la fórmula del discriminante, tenemos:
$latex D=b^2-4ac$
$latex D=(7)^2-4(2)(7)$
$latex D=49-56$
$latex D=-7$
Dado que el discriminante es negativo, la ecuación no tiene raíces reales. Entonces, la función no corta al eje x. Además, dado que el coeficiente de $latex x^2$ es positivo, la gráfica de la función se abre hacia arriba y está siempre arriba del eje x, por lo que los valores siempre son positivos.
Discriminante de una ecuación cuadrática – Ejercicios para resolver
Usa la fórmula del discriminante de una ecuación cuadrática para resolver los siguientes ejercicios de práctica.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones cuadráticas? Puedes mirar estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
