Recordemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados que son paralelos. Las diagonales de los trapecios conectan a dos esquinas opuestas del trapecio. Las longitudes de estas diagonales pueden ser encontradas al usar la ley de los cosenos si es que conocemos las longitudes de los lados y los ángulos de las bases. Esto puede ser realizado debido a que las diagonales dividen al trapecio en dos triángulos congruentes.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para encontrar las longitudes de ambas diagonales de un trapecio. Además, veremos algunos ejercicios en donde aplicaremos estas fórmulas para obtener la respuesta.
Fórmula de la diagonal de un trapecio
Supongamos que tenemos al siguiente trapecio:
Si es que conocemos las longitudes de los lados y los ángulos de las bases, podemos encontrar la longitud de las diagonales del trapecio usando la ley de cosenos:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{d}^2}-2ad~\cos(\beta)}$
$latex d_{2}=\sqrt{{{a}^2}+{{c}^2}-2ac~\cos(\alpha)}$
en donde,
- $latex a, ~b$ representan a las longitudes de las bases
- $latex b, ~c$ representan a las longitudes de los lados laterales
- $latex \alpha, ~\beta$ representan a los ángulos de las bases
- $latex d_{1}, ~d_{2}$ representan a las longitudes de las diagonales
Ejercicios de diagonal de un trapecio resueltos
En los siguientes ejercicios, aplicamos las fórmulas detalladas arriba para encontrar la longitud de las diagonales de un trapecio. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Tenemos que un trapecio tiene lados de longitud 10 m y 12 m y el ángulo entre ellos es 60°. ¿Cuál es la longitud de su diagonal?
Solución
Podemos usar cualquier definición para los lados del trapecio. Lo importante para usar la ley de los cosenos es que el ángulo dado sea el ángulo que se ubica entre los dos lados dados.
En este caso, sí es así, por lo que podemos usar las siguientes definiciones:
- Lado 1, $latex a=10$ m
- Lado 2, $latex d=12$ m
- Ángulo, $latex \beta=60$°
Y reemplazamos estos valores en la fórmula:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{d}^2}-2ad~\cos(\beta)}$
$$d_{1}=\sqrt{{{10}^2}+{{12}^2}-2(10)(12)~\cos(60°)}$$
$latex d_{1}=\sqrt{100+144-240(0.5)}$
$latex d_{1}=\sqrt{244-120}$
$latex d_{1}=\sqrt{124}$
$latex d_{1}=11.14$
La longitud de la diagonal del trapecio es 11.14 m.
EJERCICIO 2
Un trapecio tiene lados de longitud 6 m y 8 m y el ángulo entre ellos es 60°. ¿Cuál es la longitud de su diagonal?
Solución
Podemos reconocer la siguiente información:
- Lado 1, $latex a=6$ m
- Lado 2, $latex d=8$ m
- Ángulo, $latex \beta=60$°
Ahora, usamos la fórmula de la diagonal con estos valores:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{d}^2}-2ad~\cos(\beta)}$
$latex d_{1}=\sqrt{{{6}^2}+{{8}^2}-2(6)(8)~\cos(60°)}$
$latex d_{1}=\sqrt{36+64-96(0.5)}$
$latex d_{1}=\sqrt{100-48}$
$latex d_{1}=\sqrt{52}$
$latex d_{1}=7.2$
La longitud de la diagonal del trapecio es 7.2 m.
EJERCICIO 3
¿Cuál es la longitud de la diagonal de un trapecio que tiene lados de longitud 9 m y 15 m y el ángulo entre esos lados mide 45°?
Solución
Podemos identificar la siguiente información:
- Lado 1, $latex a=9$ m
- Lado 2, $latex d=15$ m
- Ángulo, $latex \beta=45$°
Ahora, usamos la fórmula de la diagonal con estos valores:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{d}^2}-2ad~\cos(\beta)}$
$latex d_{1}=\sqrt{{{9}^2}+{{15}^2}-2(9)(15)~\cos(45°)}$
$latex d_{1}=\sqrt{81+225-270(0.707)}$
$latex d_{1}=\sqrt{306-190.89}$
$latex d_{1}=\sqrt{115.11}$
$latex d_{1}=10.73$
La longitud de la diagonal del trapecio es 10.73 m.
EJERCICIO 4
Determina la longitud de la diagonal de un trapecio que tiene lados de longitud 20 m y 22 m y el ángulo entre ellos es 30°.
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- Lado 1, $latex a=20$ m
- Lado 2, $latex d=22$ m
- Ángulo, $latex \beta=30$°
Usamos estos valores en la fórmula de la diagonal:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{d}^2}-2ad~\cos(\beta)}$
$$d_{1}=\sqrt{{{20}^2}+{{22}^2}-2(20)(22)~\cos(30°)}$$
$latex d_{1}=\sqrt{400+484-880(0.866)}$
$latex d_{1}=\sqrt{884-762.1}$
$latex d_{1}=\sqrt{121.9}$
$latex d_{1}=11.04$
La longitud de la diagonal del trapecio es 11.04 m.
Ejercicios de diagonal de un trapecio para resolver
Pon en práctica lo aprendido sobre las diagonales de un trapecio y usa las fórmulas para encontrar las longitudes de las diagonales. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
