Desigualdades Cuadráticas con Ejercicios

Para resolver la desigualdad, tenemos que encontrar las raíces de la ecuación $latex x^2+3x-4=0$. Podemos lograr esto usando factorización:

$latex x^2+3x-4=0$

$latex (x+4)(x-1)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=1$

Ahora, podemos trazar una gráfica para facilitar la resolución del problema:

Tenemos la desigualdad $latex x^2+3x-4<0$, la cual nos indica que necesitamos la parte que tiene valores menores que 0. Es decir, necesitamos la parte que está debajo del eje x.

Usando la gráfica, podemos deducir que esto sucede cuando $latex -4<x<1$.

Para resolver la desigualdad, tenemos que empezar encontrando los valores de x en la ecuación $latex x^2+x-2=0$. Entonces, podemos usar factorización:

$latex x^2+x-2=0$

$latex (x+2)(x-1)=0$

$latex x=-2~~$ o $latex ~~x=1$

La parábola formada por la ecuación $latex y=x^2+x-2$ se abre hacia arriba y tiene forma de U porque el término cuadrático es positivo:

La desigualdad $latex x^2+x-2>0$ indica que los valores siempre son mayores que 0. Usando la gráfica, podemos deducir que esto sucede cuando $latex x<-2~$ o $latex ~x>1$.

Tenemos que encontrar los valores de x en la ecuación $latex x^2+2x-8=0$. Podemos lograr esto usando factorización:

$latex x^2+2x-8=0$

$latex (x+4)(x-2)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=2$

Vamos a resolver sin usar la gráfica. Para esto, tenemos que considerar que dado que el término cuadrático es positivo, la parábola formada por $latex y=x^2+2x-8$ se abrirá hacia arriba.

Ahora, la desigualdad $latex x^2+2x-8<0$ indica que necesitamos solo los valores que son menor que 0, es decir, la parte que está debajo del eje x. Esto sucede cuando $latex -4<x<2$.

Empezamos simplificando de la siguiente forma:

$latex x^2+8x+4>2x-4$

$latex x^2+6x+8>0$

Ahora, podemos formar la ecuación $latex x^2+6x+8=0$ y resolver por factorización:

$latex x^2+6x+8=0$

$latex (x+4)(x+2)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=-2$

La desigualdad $latex x^2+6x+8>0$ significa que los valores siempre son mayores que 0. Esto significa que necesitamos la parte de la parábola que está encima del eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba (el término cuadrático es positivo), la solución a la desigualdad es $latex x<-4~$ o $latex ~x>-2$.

Podemos combinar términos semejantes y escribir a la desigualdad en la forma $latex ax^2+bx+c<0$:

$latex x^2+2x-12<x+8$

$latex x^2+x-20<0$

Podemos encontrar los valores de x al formar la ecuación $latex x^2+x-20=0$ y resolver usando factorización:

$latex x^2+x-20=0$

$latex (x+5)(x-4)=0$

$latex x=-5~~$ o $latex ~~x=4$

Ahora, tenemos que encontrar los valores de x que hagan que $latex x^2+x-20<0$ tenga siempre valores menores que 0. Esto significa que necesitamos la parte debajo del eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba (el término cuadrático es positivo), la parábola está debajo del eje x cuando los valores de x son mayores que -5 y menores que 4, es decir, $latex -5<x<4$.

Al simplificar la desigualdad, obtenemos lo siguiente:

$latex x^2+4x+10>-4x-5$

$latex x^2+8x+15>0$

Ahora, podemos formar la ecuación $latex x^2+8x+15=0$ y resolverla por factorización:

$latex x^2+8x+15=0$

$latex (x+5)(x+3)=0$

$latex x=-5~~$ o $latex ~~x=-3$

Para resolver la desigualdad $latex x^2+8x+15>0$, tenemos que encontrar los valores de x que siempre producen valores mayores que 0 (encima del eje x)

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución a la desigualdad es $latex x<-5~$ o $latex ~x>-3$.

Aquí, tenemos un término cuadrático que es negativo. Podemos facilitar la resolución de la desigualdad al multiplicar a toda la desigualdad por -1 para lograr que el término cuadrático sea positivo:

$latex x^2-6x+8\leq 0$

Nota: Ten en cuenta que al multiplicar o dividir a la desigualdad por un signo negativo, tenemos que darle la vuelta al signo de desigualdad.

Ahora, formamos la ecuación $latex x^-6x+8=0$ y resolvemos por factorización para encontrar los valores de x:

$latex x^2-6x+8=0$

$latex (x-4)(x-2)=0$

$latex x=4~~$ o $latex ~~x=2$

Para resolver la desigualdad $latex x^2-6x+8\leq 0$, tenemos que buscar los valores de x que produzcan valores menores o iguales a 0. Entonces, buscamos la porción de la parábola debajo del eje x.

La solución es $latex 2\leq x\leq 4$.

Nuevamente, podemos multiplicar a toda la desigualdad por -1 para facilitar su resolución:

$latex 2x^2-9x+10\geq 0$

Nota: El signo desigualdad fue cambiado, ya que multiplicamos por un signo negativo.

Ahora, resolvemos la ecuación $latex 2x^-9x+10=0$:

$latex 2x^2-9x+10=0$

$latex (2x-5)(x-2)=0$

$latex x=\frac{5}{2}~~$ o $latex ~~x=2$

La desigualdad $latex 2x^2-9x+10\geq 0$ indica que necesitamos los valores de x que producen valores mayores o iguales a 0. Entonces, buscamos la porción de la parábola encima del eje x.

La solución es $latex x\leq 2~~$ o $latex ~~x\geq \frac{5}{2}$.

Vamos a multiplicar a toda la desigualdad por $latex (x-3)^2$ para eliminar la fracción y asegurarnos de que la desigualdad sea positiva

$latex 2(x-3)\leq 1(x-3)^2$

$latex 2x-6\leq x^2-6x+9$

$latex 0\leq x^2-8x+15$

$latex x^2-8x+15\geq 0$

Resolvemos la ecuación $latex x^2-8x+15=0$ por factorización:

$latex x^2-8x+15=0$

$latex (x-5)(x-3)=0$

$latex x=5~~$ o $latex ~~x=3$

Ahora, tenemos que encontrar los valores de x que producen valores mayores que o iguales a 0.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución es $latex x\leq 3~$ o $latex ~x\geq 5$.

Podemos multiplicar a toda la desigualdad por $latex (7x-1)^2$ para eliminar la fracción y asegurarnos de que la desigualdad sea positiva

$latex (x+1)(7x-1)\leq \frac{2}{7}(7x-1)^2$

$latex 7x^2+6x-1\leq \frac{2}{7}(49x^2-14x+1)$

$latex 0\leq 7x^2-10x+\frac{9}{7}$

$latex 49x^2-70x+9\geq 0$

Ahora, formamos la ecuación $latex 49x^2-70x+9=0$ y resolvemos por factorización:

$latex 49x^2-70x+9=0$

$latex (7x-1)(7x-9)=0$

$latex x=\frac{1}{7}~~$ o $latex ~~x=\frac{9}{7}$

Para resolver la desigualdad $latex 49x^2-70x+9\geq 0$, tenemos que encontrar los valores de x que producen valores mayores que o iguales a 0.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución es $latex x\leq \frac{1}{7}~$ o $latex ~x\geq \frac{9}{7}$.