Desigualdades Cuadráticas – Explicación y Ejercicios

Las desigualdades cuadráticas son expresiones de segundo grado que usan signos de desigualdad. Estas desigualdades tienen la forma general ax²+bx+c<0, en donde, el signo de desigualdad puede ser <, >, ≤, o ≥. La solución a una desigualdad cuadrática puede ser encontrada usando su gráfica.

A continuación, aprenderemos todo lo relacionado con las desigualdades cuadráticas. Conoceremos cómo resolverlas y aplicaremos lo aprendido en unos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
desigualdades cuadráticas

Relevante para

Aprender sobre las desigualdades cuadráticas con ejercicios.

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¿Qué son las desigualdades cuadráticas?

Las desigualdades cuadráticas son expresiones cuadráticas que usan los signos de desigualdad para comparar a dos cantidades. Los siguientes son ejemplos de desigualdades cuadráticas:

  • $latex 3x^2+2x-6<0$
  • $latex 2x^2-5x+3>0$
  • $latex -2x^2-6x+4\leq 0$
  • $latex 5x^2+4x-5\geq 0$

¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas?

Podemos resolver desigualdades cuadráticas siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Si es que no lo está, escribir a la desigualdad en la forma $latex ax^2+bx+c>0$.

Nota: El signo «>» dependerá del problema.

Paso 2: Encontrar los valores de x de modo que $latex ax^2+bx+c=0$. Estos son los puntos en donde la función $latex y=ax^2+bx+c$ corta al eje x. Podemos resolver esto al factorizar la expresión cuadrática.

Paso 3: Obtener una gráfica simple de la función $latex y=ax^2+bx+c$, o alternativamente, considerar lo siguiente:

  • Cuando el término cuadrático es positivo, la parábola se abre hacia arriba y tiene una forma de U.
  • Cuando el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
  • Los valores que se encuentran encima del eje x son mayores que 0 y los valores que se encuentran abajo del eje x son menores que 0.

Paso 4: Determinar los símbolos de desigualdad que harán que las soluciones encontradas en el paso 2 satisfagan la desigualdad. Podemos lograr esto usando la gráfica o los enunciados del paso 3.

Mira los siguientes ejercicios, en donde aplicamos este proceso para resolver las desigualdades cuadráticas.


Desigualdades cuadráticas – Ejercicios resueltos

Los pasos de resolución de desigualdades cuadráticas son aplicados para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra la solución a la desigualdad $latex x^2+3x-4<0$.

Paso 1: No tenemos que simplificar porque la desigualdad ya está en la forma $latex ax^2+bx+c<0$.

Paso 2: Podemos formar la ecuación $latex x^2+3x-4=0$ y encontrar los valores de x usando factorización:

$latex x^2+3x-4=0$

$latex (x+4)(x-1)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: La parábola se abre hacia arriba y tiene forma de U porque el término cuadrático es positivo:

Grafica para resolver la desigualdad cuadrática 1

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+3x-4<0$ nos indica que necesitamos la parte que produce valores negativos en la parábola. Usando la gráfica, podemos deducir que esto sucede cuando $latex -4<x<1$.

Esto significa que los valores de la parábola son negativos (están debajo del eje x) cuando los valores de x van desde -4 hasta 1.

EJERCICIO 2

Resuelve la desigualdad $latex x^2+x-2>0$.

Paso 1: No tenemos nada que simplificar.

Paso 2: Podemos resolver la ecuación $latex x^2+x-2=0$ usando factorización:

$latex x^2+x-2=0$

$latex (x+2)(x-1)=0$

$latex x=-2~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: El término cuadrático es positivo, por lo que la parábola tiene forma de U y se abre hacia arriba:

Grafica para resolver la desigualdad cuadrática 2

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+x-2>0$ nos indica que necesitamos la parte que es mayor que 0. Usando la gráfica, podemos deducir que esto sucede cuando $latex x<-2~$ o $latex ~x>1$.

Eso significa que los valores de la gráfica son positivos (están encima del eje x) cuando los valores de x son menores que -2 y mayores que 1.

EJERCICIO 3

Resuelve la desigualdad $latex x^2+2x-12<x+8$.

Paso 1: Podemos simplificar al combinar términos semejantes y escribir a la desigualdad en la forma $latex ax^2+bx+c<0$:

$latex x^2+2x-12<x+8$

$latex x^2+x-20<0$

Paso 2: Formamos la ecuación $latex x^2+x-20=0$ y la resolvemos usando factorización:

$latex x^2+x-20=0$

$latex (x+5)(x-4)=0$

$latex x=-5~~$ o $latex ~~x=4$

Paso 3: La parábola se abre hacia arriba y tiene en forma de U porque el término cuadrático es positivo.

Paso 4: Tenemos la desigualdad $latex x^2+x-20<0$, lo que significa que necesitamos la porción que es menor que 0. Entonces, buscamos la parte de la parábola que está debajo del eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la parábola está debajo del eje x cuando los valores de x son mayores que -5 y menores que 4, es decir, $latex -5<x<4$.

EJERCICIO 4

Encuentra la solución a la desigualdad $latex x^2+4x+10>-4x-5$.

Paso 1: Podemos combinar términos semejantes y escribir a la desigualdad de la siguiente forma:

$latex x^2+4x+10>-4x-5$

$latex x^2+8x+15>0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación $latex x^2+8x+15=0$ por factorización, tenemos:

$latex x^2+8x+15=0$

$latex (x+5)(x+3)=0$

$latex x=-5~~$ o $latex ~~x=-3$

Paso 3: La parábola tiene forma de U y se abre hacia arriba porque el término cuadrático es positivo.

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+8x+15>0$ nos indica que necesitamos la parte que es mayor que 0, es decir, la parte de la parábola que está encima del eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución a la desigualdad es $latex x<-5~$ o $latex ~x>-3$.

EJERCICIO 5

Encuentra la solución a la desigualdad $latex -x^2+6x-8>0$.

Paso 1: En este caso, el término cuadrático de la desigualdad es negativo. Para facilitar su resolución, podemos multiplicar a toda la desigualdad por -1:

$latex x^2-6x+8<0$

Nota: Cuando multiplicamos o dividimos a la desigualdad por un signo negativo, tenemos que darle la vuelta al signo de desigualdad.

Paso 2: Podemos formar la ecuación $latex x^-6x+8=0$ y resolver por factorización:

$latex x^2-6x+8=0$

$latex (x-4)(x-2)=0$

$latex x=4~~$ o $latex ~~x=2$

Paso 3: El término cuadrático es positivo, por lo que la parábola se abre hacia arriba.

Paso 4: La desigualdad $latex x^2-6x+8<0$ indica que necesitamos la parte que es menor que 0. Entonces, buscamos la porción de la parábola debajo del eje x.

La solución es $latex 2<x<4$.

EJERCICIO 6

Encuentra la solución a la desigualdad $latex \frac{x+1}{7x-1}\leq \frac{2}{7}$.

Paso 1: Vamos a multiplicar a toda la desigualdad por $latex (7x-1)^2$ para simplificar y asegurarnos de que la desigualdad sea positiva:

$latex (x+1)(7x-1)\leq \frac{2}{7}(7x-1)^2$

$latex 7x^2+6x-1\leq \frac{2}{7}(49x^2-14x+1)$

$latex 0\leq 7x^2-10x+\frac{9}{7}$

$latex 49x^2-70x+9\geq 0$

Paso 2: Formando la ecuación $latex 49x^2-70x+9=0$ y resolviendo por factorización, encontramos los interceptos en x:

$latex 49x^2-70x+9=0$

$latex (7x-1)(7x-9)=0$

$latex x=\frac{1}{7}~~$ o $latex ~~x=\frac{9}{7}$

Paso 3: La parábola tiene forma de U y se abre hacia arriba porque el término cuadrático es positivo.

Paso 4: La desigualdad $latex 49x^2-70x+9\geq 0$ nos indica que tenemos que encontrar la parte que es mayor o igual que 0. Entonces, usamos la parte de la parábola que está encima del eje x, incluyendo a los puntos que cortan al eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución es $latex x\leq \frac{1}{7}~$ o $latex ~x\geq \frac{9}{7}$.

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Desigualdades cuadráticas – Ejercicios para resolver

Encuentra la solución a los siguientes ejercicios para aplicar todo lo aprendido sobre las desigualdades cuadráticas.

Encuentra la solución a la desigualdad $latex x^2-8x+15>0$.

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Resuelve la desigualdad $latex x^2+x-12< 0$.

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Encuentra la solución a la desigualdad $latex (2x+3)(x-1) <0$.

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Encuentra la solución a la desigualdad $latex (3x+2)(2x-1)\geq 0$.

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Encuentra la solución a la desigualdad $latex x^2+5x\geq 10+2x$.

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Véase también

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