¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas? – Paso a paso

Las desigualdades cuadráticas tienen la forma ax²+bx+c<0. Las desigualdades pueden usar los signos de mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que. Para resolver este tipo de desigualdades, tenemos que determinar los puntos en los que la gráfica de la función cuadrática cortará al eje x. Trazar una gráfica simple siempre es útil.

A continuación, aprenderemos cómo resolver desigualdades cuadráticas paso a paso. Además, veremos algunos ejercicios con respuestas para aprender los conceptos.

ÁLGEBRA
Cómo resolver desigualdades cuadráticas paso a paso

Relevante para

Aprender a resolver desigualdades cuadráticas.

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Pasos para resolver desigualdades cuadráticas

Para resolver desigualdades cuadráticas, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Simplificar y escribir a la desigualdad en la forma $latex ax^2+bx+c<0$. El signo «<» podría ser diferente dependiendo del problema.

Paso 2: Identificar en dónde la gráfica de $latex y=ax^2+bx+c$ corta al eje x. Para lograr esto, podemos factorizar la expresión cuadrática $latex ax^2+bx+c=0$ y encontrar los valores de x.

Paso 3: Trazar una gráfica simple de la función $latex y=ax^2+bx+c$ para determinar la solución. Alternativamente, podemos resolver sin una gráfica considerando lo siguiente:

  • Si es que tenemos un término cuadrático positivo, la parábola se abre hacia arriba y tiene una forma de U.
  • Si es que el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
  • Los valores debajo del eje x son menores que 0 y los valores encima del eje x son mayores que 0.

Paso 4: Usando la gráfica o de otra forma, tenemos que determinar los símbolos de desigualdad que harán que las soluciones encontradas en el paso 2 satisfagan la desigualdad.

Explora los ejercicios resueltos mostrados a continuación para entender la aplicación de estos pasos con problemas reales.


Desigualdades cuadráticas – Ejercicios resueltos

Los pasos de resolución de desigualdades cuadráticas son aplicados para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Resuelve la desigualdad $latex x^2+3x-4<0$.

Paso 1: La desigualdad ya está en la forma $latex ax^2+bx+c<0$.

Paso 2: Formamos la ecuación $latex x^2+3x-4=0$ y encontramos los valores de x. Podemos resolver esto por factorización:

$latex x^2+3x-4=0$

$latex (x+4)(x-1)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: El término cuadrático es positivo, por lo que la parábola se abre hacia arriba:

Grafica para resolver la desigualdad cuadrática 1

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+3x-4<0$ nos indica que la expresión $latex y=x^2+3x-4$ es menor que 0. Observando la gráfica, podemos concluir que esto sucede cuando $latex -4<x<1$.

Es decir, los valores de la gráfica son negativos (están debajo del eje x) cuando los valores de x van desde -4 hasta 1.

EJERCICIO 2

Encuentra la solución de la desigualdad $latex x^2+x-2>0$.

Paso 1: La desigualdad ya está en la forma $latex ax^2+bx+c<0$.

Paso 2: Vamos a usar factorización para resolver la ecuación $latex x^2+x-2=0$:

$latex x^2+x-2=0$

$latex (x+2)(x-1)=0$

$latex x=-2~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: La parábola tiene forma de U y se abre hacia arriba, ya que el término cuadrático es positivo:

Grafica para resolver la desigualdad cuadrática 2

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+x-2>0$ nos indica que la expresión $latex y=x^2+x-2$ es mayor que 0. Usando la gráfica, podemos concluir que esto sucede cuando $latex x<-2~$ o $latex ~x>1$.

Es decir, los valores de la gráfica son positivos (están encima del eje x) cuando los valores de x son menores que -2 y mayores que 1.

EJERCICIO 3

Encuentra la solución a la desigualdad $latex x^2+2x-4<x+2$.

Paso 1: Escribimos a la desigualdad en la forma $latex ax^2+bx+c<0$:

$latex x^2+2x-4<x+2$

$latex x^2+x-6<0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación $latex x^2+x-6=0$, tenemos:

$latex x^2+x-6=0$

$latex (x+3)(x-2)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=2$

Paso 3: Dado que el término cuadrático es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Paso 4: En este caso, tenemos que la expresión $latex y=x^2+x-6$ es menor que 0. Entonces, necesitamos la parte de la parábola que está debajo del eje x.

Como la parábola se abre hacia arriba, la parábola está debajo del eje x cuando los valores de x son mayores que -3 y menores que 2, es decir, $latex -3<x<2$.

EJERCICIO 4

¿Cuál es la solución a la desigualdad $latex x^2+8x+4>2x-4$?

Paso 1: Simplificamos a la desigualdad de la siguiente forma:

$latex x^2+8x+4>2x-4$

$latex x^2+6x+8>0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación $latex x^2+6x+8=0$, tenemos:

$latex x^2+6x+8=0$

$latex (x+4)(x+2)=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=-2$

Paso 3: El término cuadrático es positivo. Entonces, la parábola tiene forma de U y se abre hacia arriba.

Paso 4: La desigualdad $latex x^2+6x+8>0$ nos indica que la expresión $latex y=x^2+6x+8$ es mayor que 0. Es decir, necesitamos la parte de la parábola que está encima del eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución a la desigualdad es $latex x<-4~$ o $latex ~x>-2$.

EJERCICIO 5

Resuelve la desigualdad $latex -x^2-x+6>0$.

Paso 1: En este caso, tenemos una desigualdad con un término cuadrático negativo. Para facilitar su resolución, podemos multiplicar a toda la desigualdad por -1:

$latex x^2+x-6<0$

Nota: Recuerda que cuando multiplicamos o dividimos a la desigualdad por un signo negativo, tenemos que darle la vuelta al signo de desigualdad.

Paso 2: Resolviendo la ecuación $latex x^2+x-6=0$ por factorización, tenemos:

$latex x^2+x-6=0$

$latex (x+3)(x-2)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=2$

Paso 3: La parábola formada por $latex y=x^2+x-6$ se abre hacia arriba porque el término cuadrático es positivo.

Paso 4: Necesitamos los valores negativos de la parábola porque tenemos que la expresión cuadrática es menor que 0. Entonces, buscamos la porción de la parábola debajo del eje x.

Entonces, la solución es $latex -3<x<2$.

EJERCICIO 6

Resuelve la desigualdad $latex \frac{x+1}{7x-1}\leq \frac{2}{7}$.

Paso 1: Podemos multiplicar a toda la desigualdad por $latex (7x-1)^2$ para simplificar y asegurarnos de que la desigualdad sea positiva. Entonces, tenemos:

$latex (x+1)(7x-1)\leq \frac{2}{7}(7x-1)^2$

$latex 7x^2+6x-1\leq \frac{2}{7}(49x^2-14x+1)$

$latex 0\leq 7x^2-10x+\frac{9}{7}$

$latex 49x^2-70x+9\geq 0$

Paso 2: Podemos resolver la ecuación $latex 49x^2-70x+9=0$ por factorización. Entonces, tenemos:

$latex 49x^2-70x+9=0$

$latex (7x-1)(7x-9)=0$

$latex x=\frac{1}{7}~~$ o $latex ~~x=\frac{9}{7}$

Paso 3: La parábola se abre hacia arriba y tiene forma de U porque el término cuadrático es positivo.

Paso 4: La desigualdad $latex 49x^2-70x+9\geq 0$ nos indica que la expresión $latex y=49x^2-70x+9$ es mayor o igual que 0. Entonces, necesitamos a la parte de la parábola que está encima del eje x, incluyendo a los puntos que cortan al eje x.

Dado que la parábola se abre hacia arriba, la solución es $latex x\leq \frac{1}{7}~$ o $latex ~x\geq \frac{9}{7}$.

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Desigualdades cuadráticas – Ejercicios para resolver

Encuentra la solución a los siguientes ejercicios para aplicar todo lo aprendido sobre las desigualdades cuadráticas.

Resuelve la desigualdad $latex x^2-2x-8>0$.

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¿Cuál es la solución a la desigualdad $latex x^2-2x-15\leq 0$?

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Resuelve la desigualdad $latex x^2+7x+12<0$.

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Encuentra la solución a la desigualdad $latex (2x+3)(x-1)<0$.

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Resuelve la desigualdad $latex x^2+3x\geq 10$.

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Véase también

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