Cómo encontrar el mínimo común múltiplo (4 Métodos)

Existen cuatro métodos principales que podemos usar para encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números: listas de múltiplos, factorización en primos, el método de división y usando la fórmula del mayor divisor común.

En este artículo, exploraremos el proceso de hallar el mínimo común múltiplo (MCC) usando los cuatro métodos mencionados. Veremos sus pasos, las ventajas y desventajas de cada uno y algunos ejemplos.

ARITMÉTICA
Calculadora de mínimo común múltiplo (MCM)

Relevante para

Aprender a encontrar el mínimo común múltiplo.

Ver métodos

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Calculadora de mínimo común múltiplo (MCM)

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Aprender a encontrar el mínimo común múltiplo.

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Conceptos básicos

Antes de empezar con los métodos para hallar el mínimo común múltiplo (MCM), es importante comprender los conceptos básicos de factores y múltiplos.

Definiciones de factores y múltiplos

Un factor es un número que divide exactamente a otro número sin dejar resto. Por ejemplo, los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, ya que producen una división exacta.

Por otro lado, los múltiplos son el resultado de multiplicar a un número por un entero. Por ejemplo, los primeros múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, etc.

Múltiplos comunes

Un múltiplo común es un número que es múltiplo de dos o más números. Por ejemplo, los primeros múltiplos comunes de 2 y 3 son 6, 12, 18, 24, etc.

El mínimo común múltiplo (MCC) es el menor de estos múltiplos comunes. En este caso, el MCC de 2 y 3 es 6.

Diferencia entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor

El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide a dos o más números exactamente sin dejar un resto. Mientras que el MCD nos ayuda a encontrar el factor más grande que comparten los números, el MCC nos ayuda a encontrar el múltiplo más pequeño que comparten los números.

Estos dos conceptos están relacionados y pueden utilizarse para resolver distintos tipos de problemas matemáticos.


Método 1: Listar múltiplos

Este método consiste en escribir listas de múltiplos de los números hasta encontrar el mínimo común múltiplo.

Pasos para encontrar el MCM por listas de múltiplos

  1. Escribir los primeros múltiplos de cada número dado.
  2. Comparar las listas para identificar los múltiplos comunes.
  3. Identificar el número más pequeño que aparece en ambas listas. Este número es el MCM.

EJEMPLO

Encuentra el mínimo común múltiplo de 4 y 5.

  1. Los primeros múltiplos de cada número son:
    Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32…
    Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…
  2. Los múltiplos comunes son: 20, 40, 60…
  3. El múltiplo más pequeño en ambas listas es 20. El MCM de 4 y 5 es 20.

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Sencillo y fácil de entender.
  • Adecuado para números pequeños.

Desventajas:

  • Puede llevar mucho tiempo para números grandes.
  • Requiere escribir y comparar varios números.

Método 2: Factorización de números primos

Recordemos que la factorización en primos es el proceso de descomponer a un número en sus factores primos. Por ejemplo, la factorización en primos de 12 es 22 × 3, ya que 12 se puede dividir por 2 dos veces y por 3 una vez.

Pasos para encontrar el MCM utilizando la factorización de primos

  1. Encuentra la factorización en primos de cada número dado.
  2. Identifica la mayor potencia de cada factor primo en las factorizaciones.
  3. Multiplica las potencias más altas de cada factor primo para hallar el MCM.

EJEMPLO

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 8 y 12?

  1. La factorización en primos de cada número es:
    8 = 23
    12 = 22 × 3
  2. La mayor potencia de cada factor primo es: 23 y 3.
  3. Multiplicando las potencias más altas de cada factor primo:
    23 × 3 = 8 × 3 = 24
    El MCM de 8 y 12 es 24.

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Funciona bien para números grandes.
  • Proporciona información sobre la estructura de los números.
  • Puede utilizarse para varios números.

Desventajas:

  • Requiere conocimientos de números primos y factorización.
  • Puede ser más complejo que otros métodos.

Método 3: Método de división (método de escalera)

El método de la división, o método de escalera, consiste en dividir los números dados por factores primos hasta que todos los números se hayan reducido a 1.

Pasos para encontrar el MCM con el método de la división

  1. Divide los números dados por el factor primo más pequeño.
  2. Escribe el resultado debajo o al lado de los números originales.
  3. Repite el proceso hasta que todos los números se hayan reducido a 1.
  4. Multiplica todos los divisores utilizados durante el proceso para hallar el MCM.

EJEMPLO

Encuentra el MCM de 8 y 12.

  1. Dividimos a los números dados por el factor primo más pequeño (2):
    8 ÷ 2 = 4; 12 ÷ 2 = 6
  2. Repetimos el paso 1, dividimos dos veces más por 2 y una vez por 3:
    4 ÷ 2 = 2; 6 ÷ 2 = 3
    2 ÷ 2 = 1; 3 ÷ 1 = 3
    1 ÷ 1 = 1; 3 ÷ 3 = 1
  3. Multiplica todos los divisores utilizados durante el proceso: 2 × 2 × 2 × 3 = 24. El MCM de 8 y 12 es 24.

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Funciona bien para números grandes.
  • Fácil de entender y aplicar.

Desventajas:

  • Puede llevar más tiempo que otros métodos.
  • Requiere aplicar división y multiplicación.

Método 4: Utilizar la fórmula del MCD

El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide dos o más números exactamente sin dejar un resto. Es el mayor factor compartido por los números dados.

Fórmula para hallar el MCM utilizando el MCD

Para hallar el MCM utilizando el MCD, puedes utilizar la siguiente fórmula:

MCM(a, b) = (a × b) / MCD(a, b).

EJEMPLO

Encuentra el MCM de 8 y 12.

  1. Encontramos el MCD de 8 y 12: MCD(8, 12) = 4
  2. Aplicamos la fórmula: MCD(8, 12) = (8 × 12) / 4 = 96 / 4 = 24
    El LCM de 8 y 12 es 24.

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Eficiente para números grandes.
  • Simplifica el proceso de cálculo.

Desventajas:

  • Requiere encontrar primero el MCD.
  • No es tan intuitivo como otros métodos.

Escoger el método adecuado para encontrar el MCM

Factores que deben tomarse en cuenta al seleccionar un método

  1. Tamaño de los números: Los números más grandes pueden requerir métodos más eficientes como la factorización de primos o la fórmula GCD.
  2. Número de números dados: Algunos métodos, como la factorización de primos, se pueden utilizar para varios números más fácilmente.
  3. Familiaridad con los conceptos matemáticos: Elige un método que se ajuste a tu nivel de comprensión y comodidad.

Comparación de la eficacia y la facilidad de uso de los métodos

  1. Listar múltiplos: Sencillo pero laborioso, sobre todo para números grandes.
  2. Factorización de números primos: Eficaz, pero requiere conocimientos de números primos.
  3. Método de división: Fácil de entender, pero puede llevar mucho tiempo.
  4. Fórmula MCD: Eficaz y sencilla, pero requiere encontrar primero el MCD.

Aplicaciones del mínimo común múltiplo

Problemas con fracciones

El MCM es esencial cuando se trabaja con fracciones, especialmente al sumar, restar o comparar fracciones con diferentes denominadores. Permite hallar el denominador común, lo que permite realizar operaciones con fracciones.

Planificación de eventos

El MCM puede ayudar a determinar la frecuencia de eventos o reuniones recurrentes. Por ejemplo, si un evento ocurre cada 4 días y otro ocurre cada 6 días, el MCM nos permite determinar que ambos eventos coincidirán cada 12 días.

Otros usos del MCM

El MCM puede aplicarse a problemas de sincronización, como la alineación de dos señales o el funcionamiento simultáneo de varias máquinas.


Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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