Para resolver ejercicios de máximo común divisor, podemos aplicar varios métodos diferentes. Algunos de los métodos más usados son listas de múltiplos, factorización en primos, método de comprobación de números enteros consecutivos y el algoritmo euclidiano.
A continuación, resolveremos 20 ejercicios de máximo común divisor usando los ejercicios mencionados. Así, podremos dominar completamente este concepto.
Revisión de métodos para encontrar el máximo común divisor
Existen varios métodos que pueden ser usados para encontrar el máximo común divisor. Sin embargo, algunos de los métodos más usados son los siguientes:
- Listas de múltiplos
- Factorización en primos
- Método de comprobación de números enteros consecutivos
- Algoritmo euclidiano
Si necesitas hacer una revisión de estos métodos, puedes visitar nuestro artículo: Cómo encontrar el máximo común divisor (4 Métodos).
20 Ejercicios de máximo común divisor
EJERCICIO 1
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 48 y 72.
Solución
Vamos a usar el método de factorización en primos. Entonces, tenemos que hallar los factores primos de cada número:
Factorización en primos de 48: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3.
Factorización en primos de 72: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32.
Podemos ver que los factores comunes de 48 y 72 son 2 y 3.
Determina el exponente más bajo para cada factor primo común: Para el factor primo común 2, el exponente más bajo es 3 (se encuentra en la factorización de 72). Para el factor primo común 3, el exponente más bajo es 1 (se encuentra en la factorización de 48).
Multiplica los factores primos comunes por sus menores exponentes:
MCD = 23 × 3 = 8 × 3 = 24
Por lo tanto, el máximo común divisor de 48 y 72 es 24.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 63 y 28?
Solución
Empezamos escribiendo la factorización en primos de los números dados:
Factorización en primos de 63: 3 × 3 × 7 = 32 × 7.
Factorización en primos de 28: 2 × 2 × 7 = 22 × 7.
Identifica los factores primos comunes: El factor primo común de 63 y 28 es 7.
Dado que solo tenemos un factor primo común, el MCD de 63 y 28 es 7
EJERCICIO 3
Tenemos los números 126 y 54. ¿Cuál es su máximo común divisor?
Solución
Empezamos escribiendo la factorización en primos de los números:
Factorización en primos de 126: 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 32 × 7
Factorización en primos de 54: 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 33
Los factores primos comunes de 126 y 54 son 2 y 3.
Para el factor primo común 2, el exponente más bajo es 1. Para el factor primo común 3, el exponente más bajo es 2.
Multiplica los factores primos comunes en sus menores exponentes:
MCD = 2 × 32 = 2 × 9 = 18
Por lo tanto, el máximo común divisor de 126 y 54 es 18.
EJERCICIO 4
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 80 y 100.
Solución
La factorización en primos de los números dados es:
Factorización en primos de 80: 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 24 × 5.
Factorización en primos de 100: 2 × 2 × 5 × 5 = 22 × 52.
Identifica los factores primos comunes: Los factores primos comunes de 80 y 100 son 2 y 5.
Determina el exponente más bajo para cada factor primo común: Para el factor primo común 2, el exponente más bajo es 2. Para el factor primo común 5, el menor exponente es 1.
Multiplica los factores primos comunes con sus menores exponentes:
MCD = 22 × 5 = 4 × 5 = 20
EJERCICIO 5
¿Cuál es el máximo común divisor de 45 y 75?
Solución
La factorización en primos de los números es:
Factorización en primos de 45: 3 × 3 × 5 = 32 × 5.
Factorización en primos de 75: 3 × 5 × 5 = 3 × 52.
Identifica los factores primos comunes: Los factores primos comunes de 45 y 75 son 3 y 5.
Determina el exponente más bajo para cada factor primo común: Para el factor primo común 3, el menor exponente es 1. Para el factor primo común 5, el menor exponente es 1.
Multiplica los factores primos comunes por sus menores exponentes:
MCD = 3 × 5 = 15
EJERCICIO 6
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 42 y 56 utilizando el método de factorización de primos.
Solución
Empezamos encontrando la factorización en primos de los números dados:
42 = 2 × 3 × 7
56 = 23 × 7
Identificamos los factores primos comunes. Ambos números tienen 2 y 7 como factores primos comunes.
Multiplicamos los factores primos comunes en sus exponentes más bajos. 2 × 7 = 14
El MCD de 42 y 56 es 14.
EJERCICIO 7
Aplica el método de factorización en primos para encontrar el MCD de 24 y 60.
Solución
La factorización en primos de los números dados es:
Factorización en primos de 24 = 23 × 3
Factorización en primos de 60 = 22 × 3 × 5
Ambos números tienen 2 y 3 como factores primos comunes. Multiplica la menor potencia de factores primos comunes:
MCD = 22 × 3 = 12
El MCD de 24 y 60 es 12.
EJERCICIO 8
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 81 y 27 utilizando el método de comprobación de números enteros consecutivos.
Solución
Vamos a escribir los factores de cada número en orden descendente:
81: 81, 27, 9, 3, 1
27: 27, 9, 3, 1
El mayor factor común es 27. Por lo tanto, el MCD de 81 y 27 es 27.
EJERCICIO 9
¿Cuál es el MCD de 50 y 15? Usa el método de comprobación de enteros consecutivos.
Solución
Similar al ejercicio anterior, escribimos los factores de cada número en orden descendente:
50: 50, 25, 10, 5, 2, 1
15: 15, 5, 3, 1
El mayor factor común es 5. Por lo tanto, el MCD de 50 y 15 es 5.
EJERCICIO 10
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de 36 y 48.
Solución
Podemos escribir las siguientes factorizaciones:
Factorización en primos de 36: 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
Factorización en primos de 48: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3.
Identifica los factores primos comunes: Los factores primos comunes de 36 y 48 son 2 y 3.
Para el factor primo común 2, el exponente más bajo es 2. Para el factor primo común 3, el menor exponente es 1.
Multiplica los factores primos comunes por sus menores exponentes:
MCD = 22 × 3 = 4 × 3 = 12
EJERCICIO 11
Halla el máximo común divisor (MCD) de 48, 72 y 96 utilizando el método de comprobación de enteros consecutivos.
Solución
Para hallar MCD de 48, 72 y 96 con este método, primero tenemos que enumerar todos los factores de cada número:
Factores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Factores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Factores de 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
Identifica los factores comunes: Los factores comunes de 48, 72 y 96 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Elige el mayor factor común como MCD: El mayor factor común es 24.
EJERCICIO 12
¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 30, 45 y 60? Usa el método de factorización de primos.
Solución
La factorización en primos de los números dados es:
30 = 2 × 3 × 5
45 = 32 × 5
60 = 22 × 3 × 5
Los factores primos comunes son 3 y 5. Entonces, el MCD = 3 × 5 = 15
EJERCICIO 13
Encuentra el máximo común divisor de 27, 54 y 81 utilizando el método de comprobación de enteros consecutivos.
Solución
Escribimos a los factores de cada número en orden descendente.
27: 27, 9, 3, 1
54: 54, 27, 18, 9, 6, 3, 1
81: 81, 27, 9, 3, 1
El mayor factor común es 27. Por lo tanto, el MCD de 27, 54 y 81 es 27.
EJERCICIO 14
¿Cuál es el MCD de 40, 64 y 104?
Solución
Podemos resolver esto al escribir la factorización en primos de los números:
40 = 23 × 5
64 = 26
104 = 23 × 13
El factor común todos los números es 23. Entonces, MCD = 23 = 8
EJERCICIO 15
Encuentra el MCD de 12, 20 y 28 con el método de factorización de primos.
Solución
Escribiendo la factorización en primos de los números, tenemos:
12 = 22 × 3
20 = 22 × 5
28 = 22 × 7
El factor primo común es 22. MCD = 22 = 4
EJERCICIO 16
Halla el máximo común divisor (MCD) de 36, 48, 60 y 84 utilizando el método de factorización de primos.
Solución
La factorización en primos de los números es:
36 = 22 × 32
48 = 24 × 3
60 = 22 × 3 × 5
84 = 22 × 3 × 7
Los factores primos comunes son 22 y 3. MCD = 22 × 3 = 12.
EJERCICIO 17
Usa el método de comprobación de enteros consecutivos para encontrar el MCD de 50, 100, 150 y 200.
Solución
Escribimos a los factores de cada número en orden descendente:
50: 50, 25, 10, 5, 2, 1
100: 100, 50, 25, 20, 10, 5, 4, 2, 1
150: 150, 75, 50, 30, 25, 10, 6, 5, 3, 2, 1
200: 200, 100, 50, 40, 25, 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1
El mayor factor común es 50. Por lo tanto, el MCD de 50, 100, 150 y 200 es 50.
EJERCICIO 18
Encuentra el MCD de 16, 32, 48 y 64.
Solución
Podemos escribir las siguientes factorizaciones en primos:
16 = 24
32 = 25
48 = 24 × 3
64 = 26
El factor común es 24. MCD = 24 = 16.
EJERCICIO 19
Usa el método de factorización en primos para encontrar el MCD de 15, 30, 45, 60 y 75.
Solución
Podemos factorizar en primos a cada número de la siguiente forma:
15 = 3 × 5
30 = 2 × 3 × 5
45 = 32 × 5
60 = 22 × 3 × 5
75 = 3 × 52
Los factores primos comunes son 3 y 5. MCD = 3 × 5 = 15
EJERCICIO 20
Encuentra el MCD de 14, 28, 42, 56 y 70 utilizando el método de comprobación de enteros consecutivos.
Solución
Escribimos los factores de cada número en orden descendente:
14: 14, 7, 2, 1
28: 28, 14, 7, 4, 2, 1
42: 42, 21, 14, 7, 6, 3, 2, 1
56: 56, 28, 14, 8, 7, 4, 2, 1
70: 70, 35, 14, 10, 7, 5, 2, 1
El mayor factor común es 14. Por lo tanto, el MCD de 14, 28, 42, 56 y 70 es 14.
→ Calculadora de Máximo Común Divisor
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
