Cómo encontrar el máximo común divisor (4 Métodos)

El máximo común divisor puede ser calculado usando varios métodos. Los métodos más importantes incluyen, listas de múltiplos, factorización en primos, algoritmo euclidiano y algoritmo MCD binario (algoritmo de Stein).

En este artículo, aprenderemos a encontrar el máximo común divisor (MCD) usando los cuatro métodos mencionados. Veremos sus pasos, las ventajas y desventajas de cada uno y algunos ejemplos.

ARITMÉTICA
Calculadora de máximo común divisor (MCD)

Relevante para

Aprender a encontrar el máximo común divisor.

Ver métodos

ARITMÉTICA
Calculadora de máximo común divisor (MCD)

Relevante para

Aprender a encontrar el máximo común divisor.

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Conceptos básicos

Antes de empezar con los métodos para encontrar el mínimo común múltiplo, tenemos que hacer una revisión de algunos conceptos importantes:

Definiciones de factores y divisores

Los factores son números que pueden multiplicarse entre sí para obtener un producto determinado. Por ejemplo, el 2 y el 3 son factores de 6.

Por otro lado, los divisores son números que dividen a un número dado sin dejar resto. Por ejemplo, el 3 y el 6 son divisores del 12.

Divisores comunes

Los divisores comunes son números que son divisores de dos o más números dados. Por ejemplo, el 4 es un divisor común de 12 y 20.

El máximo común divisor de dos números es el divisor más grande posible de los dos números.

Diferencia entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

  1. MCD: El mayor número que divide por igual a dos o más números dados.
  2. MCM: El número más pequeño que es múltiplo de dos o más números dados.
  3. Relación: El MCD se centra en los divisores, mientras que el MCM se centra en los múltiplos.

Método 1: Listar divisores

Este método consiste en escribir las listas de los divisores de cada número, para luego identificar al divisor común más grande.

Pasos para encontrar el MCD por listas de divisores

  1. Escribe todos los divisores de cada número dado.
  2. Identifica los divisores comunes.
  3. Selecciona al máximo común divisor, MCD.

EJEMPLO

Encuentra el MCD de 12 y 20.

  1. Tenemos estos divisores:
    a. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    b. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  2. Identifica los divisores comunes: 1, 2, 4
  3. Selecciona el divisor común más grande: MCD(12, 20) = 4

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Fácil de entender y ejecutar.
  • Funciona bien para números pequeños.

Desventajas:

  • Lleva mucho tiempo y es ineficaz para números grandes.
  • Requiere la identificación manual de los divisores comunes.

Método 2: Factorización de números primos

El método de factorización de números primos consiste en descomponer a un número en un producto de sus factores primos.

Pasos para encontrar el MCD por factorización en primos

  1. Encuentra la factorización en primos de cada número dado.
  2. Identifica los factores primos comunes.
  3. Multiplica los factores primos comunes para hallar el MCD.

EJEMPLO

Encuentra el MCD de 24 y 60.

  1. Factorización en primos
    a. 24 = 23 × 31
    b. 60 = 22 × 31 × 51
  2. Factores primos comunes: 22 × 31
  3. Multiplica los factores primos comunes: MCD(24, 60) = 22 × 31 = 12

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Más eficaz que enumerar divisores para números más grandes.
  • Representación visual de factores compartidos.

Desventajas

  • Requiere conocimientos de números primos y factorización.
  • Puede llevar mucho tiempo para números muy grandes.

Método 3: Algoritmo euclidiano

El algoritmo euclidiano es un algoritmo recursivo que encuentra el MCD de dos números aplicando repetidamente la propiedad del resto de la división.

Este algoritmo está basado en el principio de que el MCD de dos números sigue siendo el mismo cuando el número mayor se sustituye por el resto de la división del número mayor por el número menor.

Pasos para encontrar el MCD por el algoritmo euclidiano

  1. Divide al número mayor por el menor y halla el resto.
  2. Sustituye el número mayor por el menor y el menor por el resto.
  3. Repite los pasos 1 y 2 hasta que el resto sea cero.
  4. El MCD es el último resto distinto de cero.

EJEMPLO

Encuentra el MCD de 84 y 56.

Aplicando el algoritmo, tenemos:

  • a. 84 ÷ 56 = 1, resto 28
  • b. 56 ÷ 28 = 2, resto 0

El último resto distinto de cero es 28, por lo que MCD(84, 56) = 28.

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Altamente eficiente, incluso para grandes números.
  • Fácil de aplicar y utilizar con una calculadora o una computadora.

Desventajas:

  • Requiere comprensión del algoritmo y de la propiedad del resto de la división.
  • Puede implicar muchas iteraciones para números sin factores comunes distintos de 1.

Método 4: Algoritmo MCD binario (Algoritmo de Stein)

El algoritmo de Stein o algoritmo MCD binario es un algoritmo eficiente que encuentra el MCD utilizando operaciones binarias.

Este algoritmo reduce el número de divisiones, por lo que es más rápido para números grandes.

Pasos para encontrar el MCD con el algoritmo MCD binario

  1. Si ambos números son pares, halla la mayor potencia de 2 que divida ambos números y aparta esta potencia de 2 como factor común. A continuación, divide ambos números por la potencia de 2 hallada.
  2. Si solo uno de los números es par, divide el número par por 2. Si ambos números son impares, pasa al siguiente paso.
  3. Resta el número menor del mayor y divide el resultado por 2. Sustituye el número mayor por el menor y el menor por la diferencia absoluta o la mitad de la diferencia si es par.
  4. Repite los pasos 1-3 hasta que ambos números sean iguales, que es el MCD.
  5. Multiplica el factor común hallado en el paso 2 (si existe) por los números iguales obtenidos en el paso 5. Este producto es el MCD de los dos números.

EJEMPLO

Encuentra el MCD de 48 y 60.

Paso 1: Para 48 y 60, ambos números pueden dividirse por 2 dos veces (22 = 4):

48 ÷ 4 = 12

60 ÷ 4 = 15

Paso 2: Resta el número menor (12) del número mayor (15) y divide el resultado por 2:

(15 – 12) ÷ 2 = 3 ÷ 2 = 1,5

Como el resultado no es un número entero, no podemos continuar con el paso de la resta. En su lugar, sustituimos el número mayor (15) por el número menor (12), y el número menor por la diferencia absoluta (3):

Nuevos números: 12 y 3

Paso 3: Repite los pasos 2 y 3 hasta que ambos números sean iguales.

En nuestro caso: Nuevos números: 12 y 3. No es posible seguir dividiendo por 2, así que nos saltamos el paso 1.

Procede con el paso 2: (12 – 3) ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4,5. De nuevo, el resultado no es un número entero, así que actualizamos nuestros números: Nuevos números: 3 y 9.

No es posible seguir dividiendo por 2, así que nos saltamos el paso 2. Procedemos con el paso 3: (9 – 3) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3. Ahora, ambos números son iguales (3 y 3).

Paso 4: Multiplica el factor común del paso 2 (en nuestro caso, 4) por los números iguales del paso 4 (en nuestro caso, 3): MCD = 4 × 3 = 12

Ventajas y desventajas de este método

Ventajas:

  • Eficiente para números grandes.
  • Requiere menos divisiones en comparación con otros métodos.

Desventajas:

  • Requiere conocimientos de operaciones bit a bit y aritmética binaria.
  • Menos intuitivo que otros métodos.

Aplicaciones del máximo común divisor

Simplificar fracciones

El MCD nos permite simplificar fracciones al dividir al numerador y al denominador por su MCD. Esto nos asegura que la fracción está en su forma más simple.

Criptografía y teoría de números

El máximo común divisor se utiliza en algoritmos de cifrado como RSA para la generación de claves.

Además, el MCD desempeña un papel importante en la resolución de ecuaciones diofánticas y otros problemas de teoría de números.

Otros usos del MCD

Relaciones de transmisión: Se utiliza en ingeniería para encontrar relaciones de transmisión óptimas para dispositivos mecánicos.

Números coprimos: Números con un MCD de 1, que tienen aplicaciones en probabilidad y combinatoria.


Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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