El área superficial de una pirámide representa la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide. Por otro lado, el volumen es una medida del espacio tridimensional ocupado por la pirámide. Podemos calcular el área superficial de una pirámide al sumar el área de su base y las áreas de sus caras laterales y podemos calcular su volumen al multiplicar el área de su base por la altura de la pirámide y dividir por 3.
A continuación, aprenderemos todo lo relacionado con el área superficial y el volumen de una pirámide. Conoceremos sus fórmulas y las usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre el área superficial y el volumen de una pirámide.
GEOMETRÍA
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Aprender sobre el área superficial y el volumen de una pirámide.
¿Cómo calcular el área superficial de una pirámide?
El área superficial de una pirámide puede ser calculada al sumar las áreas de todas las caras de la pirámide. Dependiendo del tipo de pirámide que tengamos, tendremos un número diferente de caras.
La pirámide más común es una pirámide con una base cuadrada, por lo que vamos a mirar la fórmula del área superficial para este tipo de pirámide.
Entonces, podemos encontrar el área de la base de la pirámide cuadrada al elevar al cuadrado a la longitud de uno de los lados de la base. Además, el área de las caras triangulares es igual a un medio de la longitud de la base multiplicada por la altura del triángulo.
Como las cuatro caras laterales tienen las mismas dimensiones, sus áreas son iguales. Entonces, la siguiente es la fórmula del área superficial de una pirámide cuadrada:
| $latex A_{s}={{l}^2}+2lh$ |
en donde, l es la longitud de los lados de la base cuadrada y h es la altura inclinada de las caras triangulares.
¿Cómo calcular el volumen de una pirámide?
Para encontrar el volumen de cualquier pirámide, tenemos que multiplicar al área de la base de la pirámide por su altura y dividir al resultado por 3. Es decir, tenemos la siguiente fórmula.
$latex \text{Volumen}=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Nuevamente, podemos considerar que la pirámide más común es una pirámide cuadrada. Entonces, considerando que el área de un cuadrado es encontrada al elevar al cuadrado a una de las longitudes de sus lados, tenemos la siguiente fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados de la base cuadrada y h es la longitud de la altura de la pirámide.
Área superficial y volumen de pirámides – Ejercicios resueltos
En estos ejercicios, nos enfocaremos principalmente en el área superficial y el volumen de pirámides cuadradas, pero los principios aplican para cualquier tipo de pirámide.
EJERCICIO 1
Encuentra el área superficial de una pirámide que tiene una base cuadrada con lados de 3 cm y caras triangulares con una altura de 4 cm.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados base, $latex l=3$
- Altura de triángulos, $latex h=4$
Usando la fórmula del área superficial con las longitudes dadas, tenemos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{3}^2}+2(3)(4)$
$latex A_{s}=9+24$
$latex A_{s}=33$
El área superficial es igual a 33 cm².
EJERCICIO 2
Encuentra el volumen de una pirámide cuadrada que tiene una altura de 5 mm y lados con una longitud de 4 mm.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados del cuadrado, $latex l=4$
- Altura, $latex h=5$
Al usar la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(4)}^2}\times (5)$
$latex V=\frac{1}{3}(16)\times (5)$
$latex V=26.67$
El volumen es igual a 26.67 mm³.
EJERCICIO 3
¿Cuál es el área superficial de una pirámide cuadrada que tiene lados con una longitud de 5 mm y caras triangulares con una altura de 6 mm?
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados base, $latex l=5$
- Altura de triángulos, $latex h=6$
Usando la fórmula del área superficial con estas longitudes, tenemos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{5}^2}+2(5)(6)$
$latex A_{s}=25+60$
$latex A_{s}=85$
El área superficial es igual a 85 mm².
EJERCICIO 4
Encuentra el volumen de una pirámide que tiene una altura de 6 m y una base cuadrada con lados de 5 m.
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Lados del cuadrado, $latex l=5$
- Altura, $latex h=6$
Usando la fórmula del volumen con estos valores, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(5)}^2}\times (6)$
$latex V=\frac{1}{3}(25)\times (6)$
$latex V=50$
El volumen es igual a 50 m³.
EJERCICIO 5
Encuentra el área superficial de una pirámide que tiene una base cuadrada con lados de 10 cm y caras triangulares con una altura de 7 cm.
Solución
Tenemos las siguientes dimensiones:
- Lados base, $latex l=10$
- Altura de triángulos, $latex h=7$
Usando la fórmula del área superficial, tenemos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{10}^2}+2(10)(7)$
$latex A_{s}=100+140$
$latex A_{s}=240$
El área superficial es igual a 240 cm².
EJERCICIO 6
Encuentra el volumen de una pirámide que tiene una altura de 9 m y una base cuadrada con lados de 8 m.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados del cuadrado, $latex l=8$
- Altura, $latex h=9$
Al aplicar la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(8)}^2}\times (9)$
$latex V=\frac{1}{3}(64)\times (9)$
$latex V=192$
El volumen es igual a 192 m³.
EJERCICIO 7
Encuentra el área superficial de una pirámide cuadrada que tiene lados de 11 mm y caras triangulares con una altura de 12 mm.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados base, $latex l=11$
- Altura de triángulos, $latex h=12$
Al usar la fórmula del área superficial con las longitudes dadas, tenemos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{11}^2}+2(11)(12)$
$latex A_{s}=121+264$
$latex A_{s}=385$
El área superficial es igual a 385 mm².
EJERCICIO 8
Encuentra la longitud de la altura de una pirámide cuadrada que tiene un volumen de 96 m³ y una base con lados de 6 m.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados del cuadrado, $latex l=6$
- Volumen, $latex V=96$
En este caso, conocemos el volumen de la pirámide y tenemos encontrar la longitud de su altura. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para h:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}{{(6)}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}(36)\times h$
$latex 96=12 h$
$latex h=8$
La longitud de la altura es igual a 8 m.
Área superficial y volumen de pirámides – Ejercicios para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios usando las fórmulas del área superficial y del volumen de una pirámide cuadrada.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre área y volumen de figuras geométricas? Puedes mirar estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
