La apotema de un heptágono es la línea que conecta al centro del hexágono con un lado del heptágono en forma perpendicular. La apotema también puede ser considerada como la longitud de la línea que une al centro del heptágono con el centro de uno de los lados. Conociendo la longitud de la apotema, podemos encontrar el área de polígonos regulares usando una fórmula más simple. La longitud de la apotema puede ser calculada dividiendo al heptágono en siete triángulos congruentes. Luego, podemos usar uno de los triángulos junto con trigonometría para obtener una fórmula.
A continuación, derivaremos una fórmula para la apotema de un heptágono. También, resolveremos algunos ejercicios en los que aplicaremos esta fórmula.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular la apotema de un heptágono con ejercicios.
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Aprender a calcular la apotema de un heptágono con ejercicios.
Fórmula de la apotema de un heptágono
La apotema de un heptágono es la línea que conecta al centro del heptágono con uno de sus lados en forma perpendicular. Una forma de calcular la longitud de esta línea es usar trigonometría. Para esto, empezamos dividiendo al heptágono en siete triángulos congruentes como en la siguiente imagen:
Podemos ver que la apotema es igual a la altura de uno de los triángulos formados. Esta línea divide a la base en dos partes iguales. Además, también divide al triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes.
Podemos determinar el ángulo central de uno de los triángulos rectángulos pequeños para usar trigonometría y encontrar la longitud de la apotema.
Sabemos que el ángulo central total del heptágono es 360°. También, sabemos que tenemos 14 triángulos rectángulos pequeños, por lo que el ángulo central de cada uno es $latex 360\div 14=25.71$°:
Podemos usar la función tangente, la cual nos dice que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente:
$latex \tan(25.71)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$
$latex \tan(25.71)=\frac{\frac{l}{2}}{a}$
$latex \tan(25.71)=\frac{l}{2a}$
| $latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados del heptágono.
Ejercicios de apotema de heptágonos resueltos
La fórmula de la apotema de heptágonos es usada para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable intentar resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Un heptágono tiene lados de longitud 5 m. ¿Cuál es la longitud de su apotema?
Solución
Podemos usar la fórmula de la apotema con la longitud $latex l=5$. Entonces, tenemos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex a=\frac{5}{2\tan(25.71)}$
$latex a=5.19$
La longitud de la apotema es 5.19 m.
EJERCICIO 2
¿Cuál es la longitud de la apotema de un heptágono que tiene lados de longitud 9 m?
Solución
Usamos la longitud $latex l=9$ en la fórmula de la apotema. Entonces, tenemos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex a=\frac{9}{2\tan(25.71)}$
$latex a=9.35$
La longitud de la apotema es 9.35 m.
EJERCICIO 3
Un heptágono tiene lados de longitud 12 m. ¿Cuál es su apotema?
Solución
Tenemos la longitud $latex l=12$. Usando la fórmula de la apotema, tenemos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex a=\frac{12}{2\tan(25.71)}$
$latex a=12.46$
La longitud de la apotema es 12.46 m.
EJERCICIO 4
Un heptágono tiene una apotema de longitud 7.5 m. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
Solución
En este caso, empezamos con la longitud de la apotema y queremos encontrar la longitud de los lados del heptágono. Entonces, usamos $latex a=7.5$ y resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex 7.5=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex 7.5=\frac{l}{0.963}$
$latex l=7.5(0.963)$
$latex l=7.22$
La longitud de los lados del heptágono es 7.22 m.
EJERCICIO 5
¿Cuál es la longitud de los lados de un heptágono que tiene una apotema de longitud 20 m?
Solución
Nuevamente, tenemos la longitud de la apotema y vamos a encontrar la longitud de los lados del heptágono. Entonces, usamos $latex a=20$ y resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex 20=\frac{l}{2\tan(25.71)}$
$latex 20=\frac{l}{0.963}$
$latex l=20(0.963)$
$latex l=19.26$
La longitud de los lados del heptágono es 19.26 m.
Ejercicios de apotema de heptágonos para resolver
Usa los siguientes ejercicios para practicar la aplicación de la fórmula de la apotema de heptágonos. Selecciona una respuesta y haz clic en “Verificar” para comprobar que escogiste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
