Raíces Complejas

La siguiente gráfica representa a un polinomio cuadrático de la forma \(f(x)=a{{x}^2}+bx+c\). ¿Cuántas raíces reales distintas tiene f(x)?

Como vimos en una lección anterior, podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de un polinomio cuadrático \(f(x)=a{{x}^2}+bx+c\):

La expresión que está bajo la raíz cuadrada, \({{b}^2}-4ac\), es denominada el discriminante de f(x).

Tenemos 3 casos diferentes:

• Si es que \({{b}^2}-4ac>0\), entonces, \(\sqrt{{{b}^2}-4ac}\) es un número real y f(x) tendrá dos raíces reales.

• Si es que \({{b}^2}-4ac=0\), entonces, \(\sqrt{{{b}^2}-4ac}=0\) y tenemos:

\(x=\frac{-b}{2a}\)

por lo que f(x) tiene exactamente una raíz.

• Si es que \({{b}^2}-4ac<0\), entonces, \(\sqrt{{{b}^2}-4ac}\) es la raíz cuadrada de un número negativo y por lo tanto no es un número real ya que no hay un número real el cual al ser elevado al cuadrado resulte en un número negativo. Entonces f(x) no tiene raíces reales.

¿Cuál de los siguientes polinomios representa a esta gráfica?

El polinomio \({{x}^2}+x+2\) no tiene raíces reales. ¿Tiene alguna raíz compleja?

Vimos que el polinomio \({{x}^2}+x+2\) no tiene raíces reales, pero sí tiene 2 raíces complejas: \(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{7}}{2}\) y \(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{7}}{2}\).

El teorema fundamental de álgebra nos dice que cada polinomio de grado n con coeficientes complejos (todos los números reales son números complejos) tiene n número de raíces complejas, contando cada raíz de acuerdo con su multiplicidad.

Hemos visto que, en el caso de raíces reales, un polinomio de grado n puede tener menos de n raíces reales. El teorema fundamental de álgebra dice que un polinomio de grado n siempre tiene n número de raíces complejas, contando cada raíz de acuerdo con su multiplicidad.

¿Cuántas raíces complejas, pero no reales tiene el siguiente polinomio?

\({{x}^3}+3{{x}^2}+2x+6\)