Pendiente de una Recta - Fórmula y Ejercicios

La pendiente de una recta define a la inclinación de la recta con respecto al eje x. La pendiente puede ser calculada al obtener la razón de la diferencia en el cambio en y sobre el cambio en x.

A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para calcular la pendiente de una recta. Conoceremos la pendiente de rectas comunes y resolveremos algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA

Relevante para…

Aprender a determinar la pendiente de una recta.

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Fórmula para la pendiente de una recta

La fórmula de la pendiente es derivada usando las coordenadas de dos puntos que se ubican en la recta. Entonces, encontramos la pendiente de una recta al formar una fracción, en donde el numerador es igual a la diferencia de las coordenadas en y y el denominador es igual a la diferencia de las coordenadas en x.

Es decir, si es que tenemos los puntos $A=(x_{1}, y_{1})$ y $B=(x_{2}, y_{2})$ , la fórmula de la pendiente es:

Pendiente de una recta horizontal

La pendiente de una recta horizontal puede ser encontrada aplicando la fórmula de la pendiente teniendo en cuenta que las coordenadas en y de todos los puntos que se ubican en una recta horizontal son las mismas. Entonces, tenemos:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$=\frac{0}{x_{2}-x_{1}}$

$m=0$

Esto significa que la pendiente de todas las rectas horizontales es igual a 0.

Pendiente de una recta vertical

Las líneas verticales no tienen pendiente, ya que no podemos definir a la inclinación de líneas verticales de forma numérica. Esto se debe a que las coordenadas x de todos los puntos en una línea vertical son las mismas. Entonces, cuando aplicamos la fórmula de la pendiente con líneas verticales, tenemos:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$=\frac{y_{2}-y_{1}}{0}$

Sabemos que la división por 0 es indefinida.

Pendiente de líneas paralelas

Consideremos las siguientes dos líneas paralelas, $l_{1}$ y $l_{2}$ , las cuales tienen las inclinaciones α y β. Para que las líneas sean paralelas, las inclinaciones deben ser las mismas. Esto significa que tenemos α = β.

Entonces, dos líneas paralelas siempre tienen la misma pendiente. Por lo tanto, si es que queremos determinar si es que dos o más líneas son paralelas, tenemos que asegurarnos de que sus pendientes sean las mismas.

Pendiente de líneas perpendiculares

En el siguiente diagrama, tenemos las líneas $l_{1}$ y $l_{2}$ , las cuales tienen las inclinaciones α y β:

Si es que estas líneas son perpendiculares, podemos decir que β=α+90°. Además, podemos escribir a las pendientes de la siguiente manera:

$m_{1}=\tan(\alpha +90^{\circ})$ y $m_{2}=\tan(\alpha)$

⇒ $m_{1}=-\cot(\alpha)=m_{1}=-\frac{1}{\tan(\alpha)}=-\frac{1}{m_{2}}$

⇒ $m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$

⇒ $m_{1}\times {m_{2}}=-1$

Entonces, para que dos líneas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Alternativamente, podemos pensar en que dos líneas perpendiculares tienen pendientes que son el recíproco negativo la una de la otra.

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Pendiente de una recta ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando la fórmula de la pendiente de una recta. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

EJERCICIO 1

Los puntos (1, 1) y (3, 5) son parte de una recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

Solución

Los puntos dados son:

$(x_{1}, y_{1})=(1, 1)$
$(x_{2}, y_{2})=(3, 5)$

Usando las coordenadas de los puntos dados en la fórmula de la pendiente, tenemos:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m=\frac{5-1}{3-1}$

$m=\frac{4}{2}$

$m=2$

La pendiente de la recta es 2.

EJERCICIO 2

Una recta contiene a los puntos (2, 3) y (6, 5). ¿Cuál es su pendiente?

Solución

Tenemos los siguientes puntos:

$(x_{1}, y_{1})=(2, 3)$
$(x_{2}, y_{2})=(6, 5)$

Al aplicar la fórmula de la pendiente con estos puntos, tenemos:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m=\frac{5-3}{6-2}$

$m=\frac{2}{4}$

$m=\frac{1}{2}$

La pendiente de la recta es $\frac{1}{2}$ .

EJERCICIO 3

Los puntos (-3, 2) y (3, 4) son parte de una recta. ¿Cuál es su pendiente?

Solución

Tenemos las siguientes coordenadas:

$(x_{1}, y_{1})=(-3, 2)$
$(x_{2}, y_{2})=(3, 4)$

Aplicando la fórmula de la pendiente con estas coordenadas, tenemos:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m=\frac{4-2}{3-(-3)}$

$m=\frac{2}{6}$

$m=\frac{1}{3}$

La pendiente de la recta es $\frac{1}{3}$ .

EJERCICIO 4

Determina la pendiente de una recta que contiene a los puntos (-3, -2) y (2, -7).

Solución

Tenemos los puntos:

$(x_{1}, y_{1})=(-3, -2)$
$(x_{2}, y_{2})=(2, -7)$

Ahora, usamos estas coordenadas en la fórmula de la pendiente:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m=\frac{-7-(-2)}{2-(-3)}$

$m=\frac{-5}{5}$

$m=-1$

La pendiente de la recta es -1.

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Pendiente de una recta ejercicios para resolver

Usa la fórmula de la pendiente de una recta para resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.