El teorema de Tales nos indica que el diámetro de un círculo siempre forma un triángulo rectángulo cuando lo conectamos con cualquier punto ubicado en la circunferencia del círculo. Este teorema puede ser demostrado usando dos triángulos isósceles inscritos en un círculo y usando sus ángulos.
A continuación, veremos una explicación más detallada del teorema de Tales. Además, aprenderemos cómo demostrar este teorema y lo usaremos para resolver algunos ejemplos de práctica.
Explicación del teorema de Tales
El teorema de Tales es considerado como un caso especial del teorema de ángulos inscritos. El teorema de Tales es aplicado a triángulos rectángulos que están inscritos en un círculo.
Vamos a usar el siguiente diagrama para describir al teorema de Tales.
El teorema de Tales indica que, si es que los puntos A, B, C son puntos distintos ubicados en la circunferencia de un círculo con centro O, en donde, la línea AC es un diámetro del círculo, el triángulo ΔABC tiene un ángulo recto (de 90°) en el punto B.
Entonces, el triángulo ΔABC es un triángulo rectángulo. Esto significa que, el diámetro de un círculo siempre forma un ángulo recto a cualquier punto en el círculo.
Demostración del teorema de Tales
Podemos demostrar el teorema de Tales en varias formas diferentes usando técnicas algebraicas y geométricas. Sin embargo, aquí nos enfocaremos en un método geométrico usando bisectores y la suma de ángulos internos.
Cuando conectamos el centro del círculo O al punto B, creamos dos triángulos ΔABO y ΔOBC. Ambos triángulos son isósceles, ya que los segmentos OA, OC, OB son iguales debido a que son radios del círculo.
Sabemos que los ángulos base de un triángulo isósceles son iguales. Entonces, los ángulos α del triángulo ΔABO son iguales. De igual forma, los ángulos β del triángulo ΔOBC son iguales.
También sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo siempre es igual a 180°. Entonces, en el triángulo ΔABC, tenemos:
$latex \alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180$°
$latex 2\alpha+2\beta=180$°
Al dividir la expresión por 2, tenemos:
$latex \alpha+\beta=90$°
El ángulo α+β es el ángulo del triángulo ΔABC en el punto B. Entonces, hemos demostrado el teorema.
Ejemplos resueltos del teorema de Tales
EJEMPLO 1
El segmento AB corresponde al diámetro del círculo. Determina la medida del ángulo X.
Solución: Dado que el segmento AB es el diámetro, por el teorema de Tales, sabemos que el ángulo formado en el vértice C es un ángulo de 90°. Además, sabemos que la suma de ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180°. Entonces, tenemos:
90°+60°+X=180°
150°+X=180°
X=180°-150°
X=30°
La medida del ángulo X es 30°.
EJEMPLO 2
El punto M es el centro del círculo. ¿Cuál es la medida del ángulo Z?.
Solución: Si es que el punto M es el centro, significa que el segmento XZ es el diámetro del círculo, por lo que podemos aplicar el teorema de Tales. Entonces, sabemos que el ángulo formado en el vértice Y es un ángulo de 90°. Podemos usar la suma de ángulos internos de un triángulo para obtener la medida de Z:
90°+50°+Z=180°
140°+Z=180°
Z=180°-140°
Z=40°
La medida del ángulo Z es 40°.
EJEMPLO 3
El segmento XY es un diámetro del círculo. Determina la longitud del diámetro.
Solución: Por el teorema de Tales, sabemos que el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo, en donde, el ángulo Z es recto. Entonces, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud del segmento XY:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{5}^2}+{{6}^2}$
$latex {{c}^2}=25+36$
$latex {{c}^2}=61$
$latex c=7.81$
La longitud del segmento XY es 7.81 unidades.
EJEMPLO 4
Determina la medida del ángulo ∠ABC asumiendo que el punto C es el centro del círculo.
Solución: El punto C es el centro del círculo, por lo que el segmento AD es el diámetro y podemos aplicar el teorema de Tales.
Anteriormente, vimos que los triángulos ABC y BCD deben ser triángulos isósceles. Entonces, tenemos:
∠CBD = ∠CDB =60°
Por el teorema de Tales, sabemos que:
∠ABD =90°
Entonces, tenemos:
∠ABC = 90°-60°=30°
Entonces, la medida del ángulo ∠ABC es 30°.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
