El teorema de Tales es un caso especial del teorema de ángulos inscritos. Este teorema dice que si es que tenemos a un triángulo inscrito en un círculo con el diámetro como la hipotenusa, el triángulo será un triángulo rectángulo y formará un ángulo recto en el vértice ubicado en cualquier punto de la circunferencia.
A continuación, haremos una breve revisión del teorema de Tales. Además, aprenderemos a resolver problemas con este teorema.
Revisión del teorema de Tales
El teorema de Tales indica que un triángulo inscrito en un círculo, en donde, la hipotenusa corresponde al diámetro del círculo, es un triángulo rectángulo.
Por ejemplo, en el siguiente diagrama tenemos los puntos A, B y C ubicados en la circunferencia que forman un triángulo inscrito. Dado que el segmento AC corresponde al diámetro del círculo, el ángulo formado en el vértice B es un ángulo de 90°.
Entonces, en términos generales, el teorema de Tales nos dice que si es que tenemos tres puntos A, B y C ubicados en la circunferencia de un círculo, en donde, la línea AC es el diámetro del círculo, entonces, el ángulo ∠ABC es un ángulo recto (90°).
Para demostrar a este teorema, tenemos que usar un bisector para obtener dos triángulos isósceles para luego usar el hecho que la suma de ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°. Puedes mirar la demostración completa en este artículo.
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Problemas con el teorema de Tales resueltos
Los siguientes problemas son resueltos aplicando el teorema de Tales. Cada problema tiene su respectiva solución en donde puedes mirar el proceso usado para llegar a la respuesta.
PROBLEMA 1
Determina la medida del ángulo Z en el siguiente diagrama si es que el segmento AC es el diámetro del círculo.
Solución
El segmento AC es el diámetro del círculo, por lo que podemos usar el teorema de Tales. Entonces, sabemos que el ángulo en el vértice B es un ángulo de 90°. Dado que la suma de ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180°, tenemos:
90°+60°+Z=180°
150°+Z=180°
Z=180°-150°
Z=30°
La medida del ángulo Z es 30°.
PROBLEMA 2
Si es que O representa al centro del círculo, cuál es la medida del ángulo a?
Solución
Si el que el punto O es el centro del círculo, sabemos que el segmento XZ representa al diámetro del círculo. Entonces, podemos aplicar el teorema de Tales. Usando el teorema, sabemos que el ángulo Y es recto, es decir, de 90°.
Ahora, usamos la suma de ángulos internos de un triángulo para encontrar la medida del ángulo a:
90°+40°+a=180°
130°+a=180°
a=180°-130°
a=50°
La medida del ángulo a es 50°.
PROBLEMA 3
Si es que el segmento XY es el diámetro del círculo, ¿cuál es su longitud?
Solución
Al aplicar el teorema de Tales, encontramos que el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo. Es decir, el ángulo Z es un ángulo recto.
Entonces, encontramos la longitud de XY al aplicar el teorema de Pitágoras, en donde, XY es la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{6}^2}+{{9}^2}$
$latex {{c}^2}=36+81$
$latex {{c}^2}=117$
$latex c=10.82$
La longitud del segmento XY es 10.82 unidades.
PROBLEMA 4
¿Cuál es la longitud de AC si es que AB es el diámetro del círculo?
Solución
Dado que AB es el diámetro del círculo, sabemos que el teorema de Tales aplica. Esto significa que el triángulo es un triángulo rectángulo y podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del segmento AC:
$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$
$latex {{a}^2}+{{8}^2}={{9}^2}$
$latex {{a}^2}+64=81$
$latex {{a}^2}=81-64$
$latex {{a}^2}=17$
$latex a=4.12$
La longitud del segmento AC es 4.12 unidades.
PROBLEMA 5
Si es que XY es el diámetro del círculo, ¿cuál es la medida del ángulo a?
Solución
Vamos a representar con O al centro del círculo. Dado que el segmento XY es el diámetro, por el teorema de Tales, sabemos que el triángulo es un triángulo rectángulo.
Ambos triángulos internos formados son isósceles, ya que dos de sus lados corresponden con los radios del círculo. Entonces, podemos deducir que dos ángulos internos también son iguales:
∠OYZ = ∠YZO =60°
Por el teorema de Tales, también sabemos que:
∠XZY =90°
Entonces, tenemos:
∠a= 90°-60°=30°
Por lo tanto, la medida del ángulo ∠a es 30°.
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Problemas con el teorema de Tales para resolver
Usa el teorema de Tales para resolver los siguientes problemas prácticos. Resuelve los problemas y selecciona tu respuesta obtenida. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
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Véase también
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