Ejercicios de Teorema de Tales

El teorema de Tales nos dice que, un triángulo inscrito en un círculo, en donde, la hipotenusa corresponde al diámetro del círculo, siempre es un triángulo rectángulo. Este teorema puede ser demostrado usando la suma de ángulos interiores.

A continuación, veremos un resumen del teorema de Tales. Luego, aprenderemos a aplicar este teorema para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
ejercicio 1 de teorema de Tales

Relevante para

Aprender a resolver ejercicios con el teorema de Tales.

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ejercicio 1 de teorema de Tales

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Resumen del teorema de Tales

El teorema de Tales es considerado como un caso especial del teorema de ángulos inscritos. Este teorema nos dice que, si es que tenemos a un triángulo inscrito en un círculo como se muestra en el siguiente diagrama, el ángulo formado en el vértice B siempre es un ángulo recto.

diagrama del teorema de Tales

Entonces, si es que tres puntos A, B y C se ubican en la circunferencia de un círculo, en donde, la línea AC es el diámetro del círculo, entonces, el ángulo ∠ABC es un ángulo recto (90°).

Este teorema puede ser demostrado al trazar un bisector desde el centro hasta el vértice B y luego usar los ángulos de los triángulos isósceles formados y el hecho que la suma de ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°. Puedes mirar la demostración completa en este artículo.


Ejercicios del teorema de Tales resueltos

Los siguientes ejercicios muestran la aplicación del teorema de Tales. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

El segmento AC es el diámetro del círculo. ¿Cuál es la medida del ángulo Z?

ejercicio 1 de teorema de Tales

El segmento AC es el diámetro del círculo, por lo que podemos usar el teorema de Tales. Entonces, sabemos que el ángulo en el vértice B es un ángulo de 90°. Dado que la suma de ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180°, tenemos:

90°+50°+Z=180°

140°+Z=180°

Z=180°-140°

Z=40°

La medida del ángulo Z es 40°.

EJERCICIO 2

Si es que M es el centro del círculo, determina la medida del ángulo Z.

ejemplo 2 de teorema de Tales

Dado que el punto M es el centro del círculo, sabemos que el segmento XZ es el diámetro del círculo. Entonces, sí podemos usar el teorema de Tales.

Por el teorema, sabemos que el ángulo en el vértice Y es un ángulo de recto, es decir, un ángulo de 90°. Podemos usar la suma de ángulos internos de un triángulo para obtener la medida de Z:

90°+50°+Z=180°

140°+Z=180°

Z=180°-140°

Z=40°

La medida del ángulo Z es 40°.

EJERCICIO 3

El segmento AC es un diámetro del círculo. ¿Cuál es la medida del diámetro?

ejercicio 3 de teorema de Tales

Usando el teorema de Tales, podemos determinar que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Esto significa que el ángulo B es un ángulo recto. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del diámetro:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{12}^2}+{{13}^2}$

$latex {{c}^2}=144+169$

$latex {{c}^2}=313$

$latex c=17.7$

La longitud del segmento AC es 17.7 unidades.

EJERCICIO 4

Determina la longitud del segmento AB en el siguiente diagrama.

ejercicio 4 de teorema de Tales

El segmento AC es el diámetro del círculo. Entonces, aplicando el teorema de Tales, podemos determinar que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del segmento AB:

$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$

$latex {{a}^2}+{{8}^2}={{10}^2}$

$latex {{a}^2}+64=100$

$latex {{a}^2}=100-64$

$latex {{a}^2}=36$

$latex a=6$

La longitud del segmento AB es 6 unidades.

EJERCICIO 5

Si es que C es el centro del círculo, ¿cuál es la medida del ángulo ∠ABC?

ejemplo 4 de teorema de Tales

Dado que el punto C es el centro del círculo, sabemos que el segmento AD es el diámetro. Entonces, podemos aplicar el teorema de Tales.

Dos de los lados de los triángulos ABC y BCD son iguales, ya que corresponden a los radios del círculo. Entonces, dos ángulos también son iguales y los triángulos deben ser triángulos isósceles. Entonces, tenemos:

CBD = ∠CDB =60°

Aplicando el teorema de Tales, tenemos:

ABD =90°

Entonces, tenemos:

ABC = 90°-60°=30°

Por lo tanto, la medida del ángulo ∠ABC es 30°.

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Ejercicios de teorema de Tales para resolver

Aplica lo aprendido sobre el teorema de Tales y resuelve los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba o el resumen del teorema de Tales.

Determina la medida del ángulo X en el siguiente diagrama si es que AC es el diámetro del círculo.

ejercicio 1 de teorema de Tales para resolver

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Determina la longitud del segmento AC si es que corresponde al diámetro del círculo.

ejercicio 2 de teorema de Tales para resolver

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¿Cuál es la medida del ángulo a?

ejercicio 3 de teorema de Tales para resolver

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Véase también

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