Exponentes Fraccionarios Ejercicios Resueltos

Las expresiones algebraicas con exponentes algebraicos pueden ser resueltas al usar la regla de exponentes fraccionarios, la cual relaciona los exponentes con radicales. En este artículo, miraremos la regla de exponentes fraccionarios.

Usaremos esta regla junto con la regla de exponentes negativos para resolver problemas más complejos y miraremos varios problemas en la sección exponentes fraccionarios ejercicios resueltos.

ÁLGEBRA
ejercicios de exponentes fraccionarios

Relevante para

Aprender a simplificar expresiones con exponentes fraccionarios.

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¿Cómo se resuelve una potencia con exponente fraccionario?

Para resolver una potencia con exponente fraccionario, debemos usar la regla de exponentes fraccionarios, la cual relaciona a las potencias y a las raíces. La forma general de la regla de exponentes fraccionarios es

exponentes fraccionarios ejercicios resueltos

Definamos a algunos términos de esta expresión:

  • Radicando: El radicando es la expresión debajo del signo radical √. En este caso, el radicando es $latex {{b}^m}$.
  • Índice del radical: El índice es el número que indica cuál raíz está siendo aplicada. En la expresión de arriba, el índice es n.
  • Base: La base es el número o variable que está elevada a una potencia. En este caso, la base es b.
  • Potencia: La potencia determina cuántas veces está siendo multiplicada la base por sí misma. En la expresión de arriba, la potencia es m/n.

Miremos cómo resolver expresiones con exponentes fraccionarios con los siguientes ejemplos:

EJEMPLOS

  • Simplifica la expresión $latex {{16}^{{\frac{1}{2}}}}$.

Solución: Aplicando la regla de exponentes fraccionarios, tenemos:

$latex {{16}^{{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{{16}}$

$latex =4$

  • Simplifica la expresión $latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}$.

Solución: Aplicando la regla de exponentes fraccionarios, tenemos:

$latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{{{{4}^{3}}}}$

Ahora podemos aplicar el exponente a la expresión que está dentro de la raíz cuadrada:

$latex =\sqrt{{4\times 4\times 4}}$

$latex =\sqrt{{64}}$

$latex =8$

  • Simplifica la expresión $latex {{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}$.

Solución: En este caso, podemos resolver el problema de una manera distinta. Observamos que 8 puede ser reescrito como $latex {{2}^3}$ y 27 puede ser reescrito como $latex {{3}^3}$:

$latex {{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}={{\left( {\frac{{{{2}^{3}}}}{{{{3}^{3}}}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}$

Ahora podemos combinar la fracción y elevar toda la fracción al cubo para luego simplificar:

$latex ={{\left[ {{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}}^{3}}} \right]}^{{\frac{4}{3}}}}$

$latex ={{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{4}}$

$latex =\frac{{16}}{{81}}$


Cambio de la forma radical a exponente fraccionario

Para cambiar de la forma radical a exponente fraccionario, tenemos que usar la regla de exponentes fraccionarios inversamente. Podemos formar un exponente fraccionario en donde el numerador es el exponente al que la base está elevada y el denominador es el índice del radical. Es decir, usamos la siguiente relación:

cambio de la forma radical a exponente fraccionario

EJEMPLOS

  • Convierte la expresión $latex \sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}$ a una expresión con exponente fraccionario.

Solución: Usamos la regla de los exponentes fraccionarios inversa:

$latex \sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}={{x}^{{\frac{2}{3}}}}$

  • Convierte la expresión $latex \sqrt{{{{x}^{5}}{{y}^{3}}}}$ a una expresión con exponente fraccionario.

Solución: Nuevamente, podemos aplicar la regla de exponentes fraccionarios inversa:

$latex \sqrt{{{{x}^{5}}{{y}^{3}}}}={{x}^{{\frac{5}{2}}}}{{y}^{{\frac{3}{2}}}}$


Exponentes fraccionarios negativos

Cuando tenemos exponentes fraccionarios negativos, tenemos que aplicar tanto la regla de exponentes negativos como la regla de exponentes fraccionarios. Generalmente, la forma más fácil de resolver este tipo de expresiones es al empezar aplicando la regla de los exponentes negativos y luego aplicar la regla de los exponentes fraccionarios.

Recordemos que la regla de los exponentes fraccionarios nos dice que un exponente negativo puede ser transformado en positivo al tomar el recíproco de la base. Es decir, si es que la base está en el numerador, la cambiamos al denominador y si la base está en el denominador, la cambiamos al numerador.

regla de exponentes negativos

EJEMPLOS

  • Simplifica la expresión $latex \frac{1}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}$.

Solución: Empezamos aplicando la regla de exponentes negativos para transformar el exponente negativo a positivo:

$latex \frac{1}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}={{16}^{{\frac{1}{2}}}}$

Ahora, podemos aplicar la regla de exponentes fraccionarios:

$latex =\sqrt{{16}}$

$latex =4$

  • Simplifica la expresión $$\frac{{{{{27}}^{{-\frac{1}{3}}}}{{y}^{{-\frac{2}{3}}}}~}}{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}~}}$$

Solución: Nuevamente, empezamos con la regla de exponentes negativos:

$$\frac{{{{{27}}^{{-\frac{1}{3}}}}{{y}^{{-\frac{2}{3}}}}~}}{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}~}}=\frac{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{{27}}^{{\frac{1}{3}}}}{{y}^{{\frac{2}{3}}}}}}$$

Ahora que solo tenemos exponentes positivos, podemos aplicar la regla de los exponentes fraccionarios para eliminar los exponentes: 

$$=\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt[3]{{27}}\sqrt[3]{{{{y}^{2}}}}}}$$

$$=\frac{{\sqrt{x}}}{{3~\sqrt[3]{{{{y}^{2}}}}}}$$


Exponentes fraccionarios ejercicios resueltos

EJEMPLO 1

  • Simplifica la expresión $latex {{x}^{{\frac{1}{2}}}}{{y}^{{\frac{2}{3}}}}$.

Solución: Simplemente, aplicamos la regla de exponentes fraccionarios para formar radicales:

$latex {{x}^{{\frac{1}{2}}}}{{y}^{{\frac{2}{3}}}}=\sqrt{x}~\sqrt[3]{{{{y}^{2}}}}$

EJEMPLO 2

  • Simplifica la expresión $latex {{81}^{{\frac{1}{4}}}}{{x}^{{\frac{1}{2}}}}$

Solución: Nuevamente, sólo tenemos que aplicar la regla de exponentes fraccionarios para formar radicales y luego simplificamos:

$latex {{81}^{{\frac{1}{4}}}}{{x}^{{\frac{3}{2}}}}=\sqrt[4]{{81}}~\sqrt{{{{x}^{3}}}}$

$latex =3~\sqrt{{{{x}^{3}}}}$

EJEMPLO 3

  • Simplifica la expresión $latex {{4}^{{-\frac{1}{2}}}}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}$.

Solución: Aquí tenemos exponentes negativos, por lo que empezamos transformando los exponentes negativos a positivos al usar la regla de exponentes negativos:

$latex {{4}^{{-\frac{1}{2}}}}{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{{{{4}^{{\frac{1}{2}}}}{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}$

Ahora, usamos la regla de exponentes fraccionarios y simplificamos:

$latex =\frac{1}{{\sqrt{4}~\sqrt{x}}}$

$latex =\frac{1}{{2~\sqrt{x}}}$

EJEMPLO 4

  • Simplifica la expresión $$\frac{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}~{{y}^{{-\frac{1}{3}}}}}}{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}~}}$$

Solución: Tenemos exponentes negativos, por lo que empezamos con la regla de exponentes negativos:

$$\frac{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}~{{y}^{{-\frac{1}{3}}}}}}{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}~}}=\frac{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}~}}{{{{{16}}^{{\frac{1}{2}}}}~{{y}^{{\frac{1}{3}}}}~}}$$

Ahora, usamos la regla de exponentes fraccionarios y simplificamos:

$latex =\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{{16}}~\sqrt[3]{y}}}$

$latex =\frac{{\sqrt{x}}}{{4~\sqrt[3]{y}}}$

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Simplifica la expresión $latex {{64}^{\frac{1}{3}}}$.

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Simplifica la expresión $latex {{49}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{\frac{1}{3}}}$.

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Simplifica la expresión $latex {{125}^{-\frac{1}{3}}}$.

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Véase también

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