Las hipérbolas son definidas como secciones cónicas que son obtenidas cuando un cono doble es intersecado por un plano. La hipérbola es formada cuando el plano corta a ambas caras del cono. La hipérbola contiene dos ramas que tienen una forma de parábola y que son la reflexión la una de la otra. El conjunto de todos los puntos en una hipérbola se caracterizan porque la diferencia de las distancias entre cualquier punto en la hipérbola y los focos es igual a una constante.
Una hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal se extiende desde un vértice hasta el otro vértice y pasa por el centro. Los focos definen a la hipérbola y se ubican en la línea que contiene al eje transversal. El eje conjugado se extiende desde un covértice hasta el otro y es perpendicular al eje transversal. El punto de intersección del eje transversal y el eje conjugado es el centro de la hipérbola. El centro también es el punto de intersección de las dos asíntotas.
PRACÁLCULO
Relevante para…
Conocer la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen.
- Forma estándar de hipérbolas centradas fuera del origen
- Determinar la ecuación de hipérbolas fuera del origen usando los vértices y los focos
- Ejercicios resueltos de ecuaciones de hipérbolas con centro fuera del origen
- Ejercicios de ecuaciones de hipérbolas con centro fuera del origen para resolver
- Véase también
PRACÁLCULO
Relevante para…
Conocer la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen.
Forma estándar de hipérbolas centradas fuera del origen
La forma estándar de hipérbolas centradas fuera del origen es encontrada al aplicar una traslación de h unidades en el eje x y k unidades en el eje y. Esto resulta en que el centro de la hipérbola esté ubicado en $latex (h, k)$. Tenemos dos variaciones de esta ecuación dependiendo en la orientación de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen
Una hipérbola que tiene al centro en $latex (h, k)$ y en la que su eje transversal es paralelo al eje x es:
| $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- h es la coordenada en x del centro y k es la coordenada en y del centro
- La longitud del eje transversal es $latex 2a$ (segmento que une a los vértices)
- Los vértices están ubicados en $latex (h\pm a, k)$
- La longitud del eje conjugado es $latex 2b$ (segmento que une a los covértices)
- Los covértices están ubicados en $latex (h, k\pm b)$
- La distancia entre los focos es $latex 2c$
- Encontramos a c usando $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Los focos están ubicados en $latex (h \pm c, 0)$
- Las ecuaciones de las asíntotas son $latex y=\pm \frac{b}{a}(x-h)+k$
Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen
Cuando la hipérbola está centrada en el punto $latex (h, k)$ y su eje transversal es paralelo al eje y, su ecuación es:
| $latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- h es la coordenada en x del centro y k es la coordenada en y del centro
- La longitud del eje transversal es $latex 2a$ (segmento que une a los vértices)
- Los vértices tienen las coordenadas $latex (h, k\pm a)$
- La longitud del eje conjugado es $latex 2b$ (segmento que une a los covértices)
- Los covértices tienen las coordenadas $latex (h\pm b, k)$
- La distancia entre los focos es $latex 2c$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Los focos tienen las coordenadas $latex (h, k\pm c)$
- Las asíntotas tienen las ecuaciones $latex y=\pm \frac{a}{b}(x-h)+k$
Determinar la ecuación de hipérbolas fuera del origen usando los vértices y los focos
Podemos usar las coordenadas de los vértices y los focos para encontrar la ecuación de una hipérbola centrada fuera del origen al seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Determinar la orientación de la hipérbola. Tenemos que determinar si el eje transversal es paralelo al eje x o paralelo al eje y.
1.1. Cuando las coordenadas en y de los vértices son las mismas que las coordenadas en y de los focos, el eje transversal es paralelo al eje x y usamos la ecuación $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Cuando las coordenadas en x de los vértices son las mismas que las coordenadas en x de los focos, el eje transversal es paralelo al eje y y usamos la ecuación $latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$.
Paso 2: Usamos las coordenadas de los vértices y la fórmula del punto medio para encontrar el centro $latex (h, k)$.
Paso 3: La distancia entre los vértices es $latex 2a$. Usamos esto para encontrar $latex {{a}^2}$.
Paso 4: Usamos las coordenadas de los focos y los valores de h y k para encontrar el valor de c y $latex {{c}^2}$.
Paso 5: Usamos la ecuación $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar el valor de $latex {{b}^2}$.
Paso 6: Sustituimos los valores de $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$ en la ecuación obtenida en el paso 1.
Ejercicios resueltos de ecuaciones de hipérbolas con centro fuera del origen
Los siguientes ejercicios aplican lo aprendido sobre las ecuaciones de hipérbolas. Los vértices y los focos son usados para determinar las ecuaciones. Analiza los ejercicios para conocer el proceso usado.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (-1, 1), (3, 1) y focos en (-2, 1), (4, 1)?
Solución
Las coordenadas en y de los focos y los vértices son las mismas, por lo que sabemos que el eje transversal es paralelo al eje x y la ecuación de la hipérbola tiene la forma:
$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Para encontrar el centro, observamos que el centro se encuentra en la mitad de los vértices (-1, 1) y (3, 1). Entonces, aplicamos la fórmula del punto medio:
$latex (h, k)=(\frac{-1+3}{2}, \frac{1+1}{2})$
$latex =(1, 1)$
Para encontrar $latex {{a}^2}$, determinamos la longitud del eje transversal, 2a, el cual está limitado por los vértices. Entonces, encontramos la diferencia en las coordenadas x de los vértices:
$latex 2a=|3-1|$
$latex 2a=2$
$latex a=2$
$latex {{a}^2}=4$
Ahora, encontramos a $latex {{c}^2}$. Las coordenadas de los focos son $latex (h\pm c, k)$. Entonces, tenemos $latex (h-c, k)=(-2, 1)$ y $latex (h+c, k)=(4, 1)$. Podemos usar cualquiera de estos puntos para encontrar el valor de c:
$latex h+c=4$
$latex 1+c=4$
$latex c=3$
$latex {{c}^2}=9$
Ahora, usamos la ecuación $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar el valor de $latex {{b}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex =9-4$
$latex =5$
Sustituyendo los valores de h, k, $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$, tenemos:
$latex \frac{{{(x-1)}^2}}{4}-\frac{{{(y-1)}^2}}{5}=1$
EJERCICIO 2
Si es que una hipérbola tiene focos en (2, 0), (2, 6) y vértices en (2, 1), (2, 5), ¿cuál es su ecuación?
Solución
En este caso, vemos que las coordenadas en x de los focos y los vértices son las mismas. Esto significa que el eje transversal es paralelo al eje y y la ecuación de la hipérbola tiene la forma:
$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Usamos a los vértices (2, 1) y (2, 5) junto con la fórmula del punto medio para encontrar al centro:
$latex (h, k)=(\frac{2+2}{2}, \frac{1+5}{2})$
$latex =(2, 3)$
Ahora, encontramos la longitud del eje transversal, 2a. Entonces, encontramos la diferencia en las coordenadas y de los vértices:
$latex 2a=|5-1|$
$latex 2a=4$
$latex a=2$
$latex {{a}^2}=4$
Usamos las coordenadas de los focos, $latex (h, k\pm c)$, para encontrar el valor de $latex {{c}^2}$. Entonces, tenemos $latex (h, k-c)=(2, 0)$ y $latex (h, k+c)=(2, 6)$. Podemos usar cualquiera de estos puntos para encontrar el valor de c:
$latex k+c=6$
$latex 3+c=6$
$latex c=3$
$latex {{c}^2}=9$
Ahora, usamos la ecuación $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar el valor de $latex {{b}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex =9-4$
$latex =5$
Sustituyendo los valores de h, k, $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$, tenemos:
$latex \frac{{{(y-3)}^2}}{4}-\frac{{{(y-2)}^2}}{5}=1$
Ejercicios de ecuaciones de hipérbolas con centro fuera del origen para resolver
Aplica los métodos y pasos vistos arriba para resolver los siguientes ejercicios y encontrar las ecuaciones de las hipérbolas usando las coordenadas de los vértices y los focos.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre hipérbolas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
