Una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono doble recto por un plano a un ángulo en el que ambas bases son cortadas. La hipérbola está compuesta de dos ramas que son una reflexión la una de la otra. La hipérbola también es definida como el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano de modo que la diferencia de las distancias entre cualquier punto y los focos es igual a una constante.
Las hipérbolas tienen dos ejes de simetría. El eje transversal es el segmento que pasa a través del centro y que une a los vértices. Los focos se ubican en la línea que contiene al eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y conecta a los cóvertices. El centro es el punto de intersección del eje transversal y el eje conjugado. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas, las cuales también intersecan en el centro.
PRECÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la ecuación de la hipérbola con centro en el origen.
- Forma estándar de hipérbolas centradas en el origen
- Encontrar los vértices y los focos de una hipérbola centrada en el origen
- Escribir la ecuación de hipérbolas centradas en el origen usando los vértices y los focos
- Ejercicios resueltos de ecuaciones de hipérbolas con centro en el origen
- Ejercicios de ecuaciones de hipérbolas con centro en el origen para resolver
- Véase también
PRECÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la ecuación de la hipérbola con centro en el origen.
Forma estándar de hipérbolas centradas en el origen
La forma estándar de una hipérbola nos da información sobre la ubicación de los vértices y de los focos y de allí podemos definir a la hipérbola completamente. Existen dos variaciones de las ecuaciones de las hipérbolas que tienen al centro en el origen dependiendo en su orientación.
Podemos tener hipérbolas posicionadas horizontalmente o verticalmente en el plano cartesiano.
Ecuación de la hipérbola horizontal
La forma estándar de una hipérbola que tiene al centro en (0, 0) y en la que su eje transversal está en el eje x es:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- $2a$ es la longitud del eje transversal (segmento que une a los vértices)
- Las coordenadas del vértice son $latex (\pm a, 0)$
- $latex 2b$ es la longitud del eje conjugado (segmento que une a los covértices)
- Las coordenadas de los covértices son $latex (0, \pm b)$
- $latex 2c$ es la distancia entre los focos
- Encontramos a c usando $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Las coordenadas de los focos son $latex (\pm c, 0)$
- Las ecuaciones de las asíntotas son $latex y=\pm \frac{b}{a}x$
Ecuación de la hipérbola vertical
Cuando la hipérbola tiene al centro en el origen, (0, 0), y su eje trasnversal es el eje y, su ecuación es:
| $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- $2a$ es la longitud del eje transversal
- Las coordenadas del vértice son $latex (0, \pm a)$
- $latex 2b$ es la longitud del eje conjugado
- Las coordenadas de los covértices son $latex (\pm b, 0)$
- $latex 2c$ es la distancia entre los focos, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
- Las coordenadas de los focos son $latex (0, \pm c)$
- Las ecuaciones de las asíntotas son $latex y=\pm \frac{a}{b}x$
Encontrar los vértices y los focos de una hipérbola centrada en el origen
Podemos encontrar los vértices y los focos usando la ecuación de una hipérbola y siguiendo los siguientes pasos:
Determinar la orientación de la hipérbola al encontrar si es que el eje transversal se ubica en el eje x o en el eje y:
Caso 1. Si es que la ecuación tiene la forma $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$, el eje transversal se ubica en el eje x. Las coordenadas de los vértices son $latex (\pm a, 0)$ y las coordenadas de los focos son $latex (\pm c, 0)$.
Caso 2. Si es que la ecuación tiene la forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$. Las coordenadas de los vértices son $latex (0, \pm a)$ y las coordenadas de los focos son $latex (0, \pm c)$.
Podemos encontrar el valor de a usando la ecuación $latex a=\sqrt{{{a}^2}}$.
Podemos encontrar el valor de c usando la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$.
Escribir la ecuación de hipérbolas centradas en el origen usando los vértices y los focos
Para encontrar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen si es que conocemos las coordenadas de los vértices y los focos, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1. Determinar la orientación de la hipérbola. Esto requiere que encontremos si el eje transversal está ubicado en el eje x o en el eje y.
1.1. Cuando las coordenadas de los vértices tienen la forma $latex (\pm a, 0)$ y las coordenadas de los focos tienen la forma $latex (\pm c, 0)$, el eje transversal está en el eje x y usamos la ecuación $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Cuando las coordenadas de los vértices tienen la forma $latex (0, \pm a)$ y las coordenadas de los focos tienen la forma $latex (0, \pm c)$, el eje transversal está en el eje y y usamos la ecuación $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$.
Paso 2. Usamos la ecuación $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$ para encontrar el valor de $latex {{b}^2}$.
Paso 3. Usamos los valores de $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$ en la ecuación obtenida en el paso 1.
Ejercicios resueltos de ecuaciones de hipérbolas con centro en el origen
Los métodos y pasos usados para encontrar las ecuaciones de hipérbolas y las coordenadas de vértices y focos vistas arriba son aplicadas para resolver los siguientes ejercicios. Mira los ejercicios cuidadosamente y analiza el proceso usado.
EJERCICIO 1
¿Cuáles son los vértices y los focos de la hipérbola que tiene la ecuación $latex \frac{{{y}^2}}{16}-\frac{{{x}^2}}{9}=1$
Solución
Podemos ver que la ecuación tiene la forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$, por lo que el eje transversal se ubica en el eje y. Dado que la hipérbola está centrada en el origen, los vértices son los interceptos en y de la gráfica. Para encontrar los vértices, usamos $latex x=0$ y resolvemos para y:
$latex \frac{{{y}^2}}{16}-\frac{{{x}^2}}{9}=1$
$latex \frac{{{y}^2}}{16}-\frac{0}{9}=1$
$latex \frac{{{y}^2}}{16}=1$
$latex {{y}^2}=16$
$latex y=\pm 4$
Los vértices están ubicados en $latex (0,\pm 4)$.
Ahora, usamos la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$ para obtener el valor de c. Entonces, tenemos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex c=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex c=\sqrt{16+9}$
$latex c=\sqrt{25}$
$latex c=\pm 5$
Los focos están ubicados en $latex (0, \pm 5)$.
EJERCICIO 2
¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que tiene vértices en $latex (\pm 4, 0)$ y focos en $latex (\pm 5, 0)$?
Solución
Los focos y los vértices están ubicados en el eje x. Esto significa que el eje transversal está en el eje x. Entonces, la ecuación tendrá la siguiente forma:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
Los vértices son $latex (\pm 4, 0 )$, por lo que $latex a=4$ y tenemos $latex {{a}^2}=16$.
Los focos son $latex (\pm 5,0)$, por lo que $latex c=5$ y tenemos $latex {{c}^2}=25$.
Determinamos el valor de $latex {{b}^2}$ usando la ecuación $latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$:
$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$
$latex {{b}^2}=25-16$
$latex {{b}^2}=9$
Usando estos valores, tenemos la siguiente ecuación de la hipérbola:
$latex \frac{{{x}^2}}{16}-\frac{{{y}^2}}{9}=1$
Ejercicios de ecuaciones de hipérbolas con centro en el origen para resolver
Usa lo aprendido para resolver los siguientes ejercicios de ecuaciones de hipérbolas. Mira los ejercicios resueltos de arriba en caso de necesitar ayuda con esto.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre hipérbolas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
