El circuncentro de un triángulo puede ser encontrado usando cinco métodos diferentes. Tres métodos consisten en usar diferentes técnicas algebraicas y geométricas para determinar las ecuaciones de las mediatrices y determinar el punto de intersección. El cuarto método consiste en usar una fórmula con las coordenadas de los vértices y las medidas de los ángulos. El quinto método consiste en determinar el circuncentro gráficamente.
En este artículo, aprenderemos a encontrar el circuncentro de un triángulo usando cinco métodos diferentes. Resolveremos algunos ejercicios de práctica.
- ¿Qué es el circuncentro de un triángulo?
- Circuncentro de triángulos comunes
- Encontrar el circuncentro de un triángulo gráficamente
- Encontrar el circuncentro de un triángulo algebraicamente
- Ejemplos resueltos del circuncentro de un triángulo
- Ejercicios para resolver del circuncentro de un triángulo
- Véase también
¿Qué es el circuncentro de un triángulo?
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. En el siguiente diagrama, podemos ver que el punto O es el circuncentro:
Recordemos que las mediatrices son los segmentos perpendiculares que pasan por los puntos medios de cada lado del triángulo.
Alternativamente, podemos definir al circuncentro como el centro del círculo circunscrito, el cual pasa por los tres vértices del triángulo.
Circuncentro de triángulos comunes
La ubicación del circuncentro varía dependiendo del tipo de triángulo que tengamos.
Circuncentro de triángulos agudos
El circuncentro de todos los triángulos agudos siempre se ubica dentro del triángulo.
Circuncentro de triángulos obtusos
El circuncentro de todos los triángulos obtusos siempre se ubica fuera del triángulo.
Circuncentro de triángulos rectángulos
El circuncentro de todos los triángulos rectángulos se ubica en la hipotenusa del triángulo rectángulo. Además, la hipotenusa del triángulo rectángulo corresponde al diámetro del círculo circunscrito.
Circuncentro de triángulos equiláteros
El circuncentro, el ortocentro, el incentro y el centroide de todos los triángulos equiláteros se ubican en la misma posición.
Encontrar el circuncentro de un triángulo gráficamente
Para encontrar el circuncentro de un triángulo gráficamente, tenemos que trazar las mediatrices y encontrar el punto de intersección.
Podemos usar un compás para determinar dos mediatrices siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Trazamos un arco en el lado AB usando el vértice B como centro y un radio con una longitud un poco mayor que la mitad de AB. Por ejemplo, si AB mide 4 unidades, podemos usar un radio de 2.5.
Paso 2: Usamos el vértice C como centro con el mismo radio del paso 1 y trazamos un arco en el lado AB.
Paso 3: Trazamos una línea que pase a través de los puntos D y E. Esta es una mediatriz.
Paso 4: Seguimos un proceso similar para trazar arcos intersecantes desde C y A para formar los puntos F y G y trazamos una línea que pase por esos puntos.
Paso 5: Marcamos el punto de intersección de las líneas trazadas.
Las líneas trazadas son las mediatrices ya que son perpendiculares a sus lados correspondientes y pasan por el punto medio de los lados. Por lo tanto, el punto de intersección es el circuncentro del triángulo.
Encontrar el circuncentro de un triángulo algebraicamente
Podemos encontrar el circuncentro de un triángulo usando cuatro métodos principales. Vamos a usar el siguiente triángulo que tiene los vértices $latex A=(x_{1},~y_{1})$, $latex B=(x_{2},~y_{2})$ y $latex C=(x_{3},~y_{3})$. El circuncentro está ubicado en (x, y).
Método 1: Usando la fórmula de la distancia
Paso 1: Usando la fórmula de la distancia, $latex d=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}$, podemos encontrar $latex d_{1}, ~d_{2}$ y $latex d_{3}$, las cuales son las distancias desde el circuncentro hasta los vértices A, B y C respectivamente:
$latex d_{1}=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}$
$latex d_{2}=\sqrt{(x-x_{2})^2+(y-y_{2})^2}$
$latex d_{3}=\sqrt{(x-x_{3})^2+(y-y_{3})^2}$
Paso 2: Obtendremos tres ecuaciones en términos de las coordenadas del circuncentro (x, y). Usamos dos de estas ecuaciones y cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones para obtener una solución (x, y). La solución al sistema son las coordenadas del circuncentro.
Método 2: Usando la fórmula del punto medio
Paso 1: Usando la fórmula del punto medio, $latex M(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$, calculamos los puntos medios de los tres lados del triángulo AB, BC, AC.
Paso 2: Calculamos las pendientes de los lados del triángulo AB, BC y AC usando la fórmula de la pendiente:
$latex m_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$
$latex m_{2}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}$
$latex m_{3}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}$
en donde, $latex m_{1}$ es la pendiente de AB, $latex m_{2}$ es pendiente de BC y $latex m_{3}$ es la pendiente de AC.
Paso 3: Usamos las coordenadas del punto medio y la pendiente de cada lado del triángulo para obtener una ecuación para su mediatriz (línea perpendicular).
$latex (y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1})$
Paso 4: Usamos las ecuaciones de dos mediatrices del triángulo para formar un sistema de ecuaciones. La solución al sistema de ecuaciones son las coordenadas del circuncentro.
Método 3: Usando la ley de senos extendida
Paso 1: Usando la ley de senos extendida, podemos obtener la longitud del radio del círculo circunscrito. La ley de senos extendida es escrita de la siguiente manera:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}=2R$
en donde, a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y R es el radio del círculo circunscrito.
Paso 2: Podemos usar la fórmula de la distancia, junto con las coordenadas de los vértices para obtener dos ecuaciones en términos de las coordenadas del circuncentro.
Paso 3: Resolvimos con cualquier método de sistemas de ecuaciones y obtendremos las coordenadas del circuncentro.
Método 4: Usando la fórmula del circuncentro
Si es que conocemos las coordenadas de los tres vértices y las medidas de los tres ángulos, podemos usar la fórmula del circuncentro para encontrar las coordenadas del circuncentro rápidamente:
$$O(x, y)=\left(\frac{x_{1}\sin(2A)+x_{2}\sin(2B)+x_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}, ~ \frac{y_{1}\sin(2A)+y_{2}\sin(2B)+y_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\right)$$
en donde, $latex A(x_{1}, y_{1})$, $latex B(x_{2}, y_{2})$, $latex C(x_{3}, y_{3})$ son los vértices del triángulo y A, B, C son los ángulos correspondientes.
Ejemplos resueltos del circuncentro de un triángulo
En los siguientes ejemplos, aplicamos lo aprendido sobre el circuncentro de un triángulo.
EJEMPLO 1
Usa la fórmula del punto medio para encontrar las coordenadas del circuncentro del siguiente triángulo.
Solución
Usamos la fórmula del punto medio para encontrar las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo:
- $latex (x_{1},~y_{1})=(2, ~4)$
- $latex (x_{2},~y_{2})=(1,~1)$
- $latex (x_{3},~y_{3})=(5,~1)$
Punto medio de AB:
$latex M_{1}=(\frac{2+1}{2}, \frac{4+1}{2})$
$latex M_{1}=(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$
Punto medio de AC:
$latex M_{3}=(\frac{2+5}{2}, \frac{4+1}{2})$
$latex M_{3}=(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$
Ahora, tenemos que determinar las pendientes de AB y AC.
Pendiente de AB:
$latex m_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$
$latex m_{AB}=\frac{4-1}{2-1}$
$latex m_{AB}=3$
Pendiente de AC:
$latex m_{BC}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}$
$latex m_{BC}=\frac{1-4}{5-2}$
$latex m_{BC}=-1$
Ahora, tenemos que determinar las ecuaciones de las líneas perpendiculares a los lados y que pasan por los puntos medios encontrados.
$latex (y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1})$ (1)
$latex (y-\frac{5}{2})=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})$ (1)
$latex 6y-15=-2x+3$
$latex 6y+2x=18$
$latex 3y+x=9$
$latex (y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1})$ (2)
$latex (y-\frac{5}{2})=-\frac{1}{-1}(x-\frac{7}{2})$ (2)
$latex 2y-5=2x-7$
$latex 2y-2x=-2$
$latex y-x=-1$
Usando cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos x=3, y=2, las cuales son las coordenadas del circuncentro.
EJEMPLO 2
El círculo pasa por los tres vértices del siguiente triángulo, por lo que es circunscrito. ¿Cuál es su área?
Solución
Podemos encontrar el radio del círculo circunscrito usando la ley de senos extendida:
$latex \frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}=2R$
$latex \frac{20}{\sin (30)}=2R$
$latex R=20$ cm
Ahora, podemos encontrar el área del círculo fácilmente:
$latex A=\pi r^2$
$latex A=\pi (20)^2$
$latex A=400\pi$ cm²
EJEMPLO 3
¿Cuáles son las coordenadas del circuncentro del siguiente triángulo rectángulo isósceles?
Solución
Podemos usar la fórmula del circuncentro ya que tenemos las coordenadas de los vértices y la medida de los ángulos.
El triángulo es rectángulo isósceles, lo que significa que tiene un ángulo de 90° en A y dos ángulos de 45° en B y C. Además, sabemos que el seno de 90° es igual a 1 y el seno de 180° es igual a 0. Entonces, tenemos:
$$O(x, y)=\left(\frac{x_{1}\sin(2A)+x_{2}\sin(2B)+x_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}, \frac{y_{1}\sin(2A)+y_{2}\sin(2B)+y_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\right)$$
$latex O(x, y)=(\frac{(0+0+4 \times 1}{0+1+1},~\frac{0+4\times 1+0}{0+1+1})$
$latex O(x, y)=(\frac{4}{2},~\frac{4}{2})$
$latex O(x, y)=(2,~2)$
Ejercicios para resolver del circuncentro de un triángulo
Resuelve los siguientes ejercicios usando el método apropiado para obtener información sobre el circuncentro de un triángulo.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre centroide, incentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
