La apotema de un pentágono es la distancia perpendicular desde el centro del pentágono hasta el centro de uno de sus lados. La apotema también puede ser considerada como el radio del incírculo de un polígono. La apotema es usada principalmente para calcular el área de un polígono regular.
A continuación, aprenderemos cómo calcular la apotema de un pentágono. Además, usaremos la fórmula de la apotema para resolver algunos ejercicios.
Fórmula de la apotema de un pentágono
Para encontrar la fórmula de la apotema, podemos usar la imagen de un pentágono:
Aquí, dividimos al pentágono en cinco triángulos congruentes y usamos uno de los triángulos para encontrar la apotema. Podemos ver que la apotema es la altura de uno de los triángulos y divide a uno de los lados en dos partes iguales.
Podemos usar trigonometría para encontrar la longitud de la apotema. Empezamos encontrando el ángulo del centro de la apotema. Tenemos cinco triángulos y al dividir a cada triángulo en dos, tendríamos 10 triángulos pequeños.
Además, sabemos que una vuelta completa tiene 360°, por lo que al dividir por los 10 triángulos, tenemos 36°. El ángulo en el centro del pentágono siempre mide 36°.
Usamos la tangente para calcular la altura del triángulo. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividida por la longitud del lado adyacente.
El lado opuesto al ángulo de 36° es la base del triángulo (mitad de la longitud de un lado del pentágono). El lado adyacente al ángulo de 36° es la altura del triángulo. Entonces, tenemos:
$latex \tan(36°)= \frac{ \text{opuesto}}{ \text{adyacente}}$
$latex \tan(36°)= \frac{ \frac{l}{2}}{a}$
$latex \tan(36°)= \frac{l}{2a}$
$latex a= \frac{l}{2\tan(36°)}$
en donde, a representa a la longitud de la apotema y l representa a la longitud de uno de los lados del pentágono.
Ejercicios de apotemas de pentágonos resueltos
La fórmula de la apotema de un pentágono es usada para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la longitud de la apotema de un pentágono que tiene lados de longitud 4 m?
Solución
Usamos la fórmula de la apotema con $latex l=4$. Entonces, tenemos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{4}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{4}{1.453}$
$latex a=2.75$
La longitud de la apotema es 2.75 m.
EJERCICIO 2
La longitud de los lados de un pentágono es 5 m. ¿Cuál es la longitud de la apotema?
Solución
Tenemos que los lados tienen una longitud de $latex l=5$. Entonces, usando este valor en la fórmula, tenemos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{5}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{5}{1.453}$
$latex a=3.44$
La longitud de la apotema es 3.44 m.
EJERCICIO 3
Un pentágono tiene lados de longitud 10 m. ¿Cuál es la longitud de su apotema?
Solución
Aquí, la longitud de los lados del pentágono es $latex l=10$. Entonces, reemplazando a este valor en la fórmula, tenemos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{10}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{10}{1.453}$
$latex a=6.88$
La longitud de la apotema es 6.88 m.
EJERCICIO 4
Un pentágono tiene una apotema de longitud 7.6. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
Solución
En este caso, empezamos con la longitud de la apotema y queremos conocer la longitud de los lados del pentágono. Entonces, usamos la fórmula con $latex a=7.6$ y resolvemos para l:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 7.6= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 7.6= \frac{l}{1.453}$
$latex l= (7.6)(1.453)$
$latex a=11.04$
La longitud de los lados es 11.04 m.
EJERCICIO 5
¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono que tiene una apotema con longitud de 6 m?
Solución
Nuevamente, empezamos con la longitud de la apotema y vamos a encontrar la longitud de los lados del pentágono. Entonces, usamos el valor $latex a=6$ en la fórmula y resolvemos para l:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 6= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 6= \frac{l}{1.453}$
$latex l= (6)(1.453)$
$latex a=8.72$
La longitud de los lados es 8.72 m.
Ejercicios de apotema de pentágonos para resolver
Pon en práctica el uso de la fórmula de la apotema de pentágonos para resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
