El teorema del factor se usa comúnmente para factorizar un polinomio y para encontrar sus raíces. El teorema del resto polinomial es un caso específico de esto. Este teorema es una de las formas de factorizar polinomios.
En este artículo, aprenderemos sobre el teorema del factor en detalle. Veremos cómo probar el teorema del factor. Luego, usaremos este teorema para resolver algunos ejercicios de práctica.
¿Qué es el teorema del factor?
El teorema del factor es un teorema algebraico que conecta los factores y ceros de un polinomio. El teorema del residuo polinomial es una versión específica de este teorema.
El teorema del factor nos dice que un polinomio tiene un factor (x-c) si y solo si f(c)=0. Entonces, c es una solución del polinomio.
El teorema del factor también se puede usar para eliminar ceros conocidos de un polinomio y dejar intactos todos los ceros desconocidos, lo que da como resultado un polinomio de menor grado con ceros más fáciles de encontrar.
Demostración del teorema del factor
Para demostrar el teorema del factor, podemos considerar a un polinomio f(x), el cual es dividido por (x-c). Esto significa que f(c)=0.
Escribimos de la siguiente manera:
$latex f(x) = (x-c)q(x) + f(c)$
en donde, f(x) es el polinomio inicial y q(x) es el cociente del polinomio.
Dado que f(c) = 0, tenemos:
$latex f(x)= (x-c)q(x)+ f(c) $
$latex f(x) = (x-c) q (x)+0$
$latex f(x) = (x-c) q (x)$
Entonces, hemos demostrado que (x-c) es un factor del polinomio f(x).
Cómo usar el teorema del factor
Los siguientes son los pasos que podemos seguir para usar el teorema del factor e identificar los factores de un polinomio:
Paso 1: Si es que f(-c)=0, entonces (x+ c) es un factor del polinomio f(x).
Paso 2: Si es que p(d/c)= 0, entonces (cx-d) es un factor del polinomio f(x).
Paso 3: Si es que p(-d/c)= 0, entonces (cx+d) es un factor del polinomio f(x).
Paso 4: Si es que p(c)=0 y p(d) =0, entonces (x – c) y (x -d) son factores del polinomio p(x).
El teorema del factor puede ser un método más fácil para encontrar los factores de un polinomio en comparación con el método de división larga.
Podemos usar este teorema para eliminar los ceros conocidos, dejando intactos todos los ceros desconocidos para encontrar el polinomio de menor grado.
Si el residuo es cero, el teorema del factor se muestra de la siguiente manera:
Si es que f(c)=0, el polinomio f(x) tiene un factor (x-c), en donde f(x) es un polinomio de grado n.
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Ejemplos del teorema del factor
Usando la fórmula detallada anteriormente, podemos resolver varios ejemplos de teoremas de factores. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada. Intenta resolver los problemas tu mismo antes de mirar la solución para que puedas practicar y dominar completamente este tema.
EJEMPLO 1
Determina si (x+1) es un factor del polinomio $latex f(x) = {x}^2 + x – 2$.
Solución
Vamos a verificar si x+1 es un factor del polinomio, en donde x= -1. Esto debe satisfacer la condición f(c)=0. Sustituyendo x en el polinomio, tenemos:
$latex f(x) = {x}^2 – x -2$
$latex f(-1) = {(-1)}^2 – (-1) -2$
$latex f(-1) = 1 +1 – 2 $
$latex f(-1) = 0$
Tenemos f(-1) = 0. De acuerdo con el teorema del factor, si es que f(c) = 0, entonces (x – c) es un factor de f(x).
Por lo tanto, (x + 2) es un factor del polinomio dado.
EJERCICIO 2
Determina si (2x-1) es un factor del polinomio $latex f(x) = 2{x}^2 – x – 1$.
Solución
Probaremos si 2x-1 es un factor del polinomio, donde $latex x = \frac{1}{2}$. Esto debería satisfacer la condición donde f(c)=0. Sustituyendo x en el polinomio, tenemos:
$latex f(\frac{1}{2}) = 2{x}^2 – x – 1$
$latex f(\frac{1}{2}) = 2{(\frac{1}{2})}^2 – (\frac{1}{2}) – 1$
$latex f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{4}) – (\frac{1}{2}) – 1$
$latex f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} – (\frac{1}{2}) – 1$
Obtuvimos $latex f(\frac{1}{2}) = -1$. De acuerdo con el teorema del factor, si f(c)=0, entonces (x–c) es un factor de f(x).
Por lo tanto, (2x–1) no es factor de $latex f(x) = 2{x}^2 – x – 1$.
EJERCICIO 3
¿Es (x+3) un factor del polinomio $latex f(x) = {x}^2 +x – 6$?
Solución
Podemos usar x=-3 para probar si x+3 es un factor del polinomio. Esto satisface la condición donde f(c) = 0. Por lo tanto, tenemos:
$latex f(x) = {x}^2 +x – 6$
$latex f(-3) = {-3}^2 + (-3) – 6$
$latex f(-3) = (9) -3 – 6$
$latex f(-3) =0$
Vemos que f(-3) = 0. Según el teorema del factor, si f(c)=0, entonces (x–c) es un factor de f(x).
Por lo tanto, (x+3) es un factor de $latex f(x) = {x}^2 +x – 6$.
EJERCICIO 4
Determina cuáles de las siguientes funciones polinómicas tienen el factor polinómico (x+5):
$latex f(x) = {x}^3-x -6$, $latex g(x) = {x}^2-3x +4$, $latex h(x) = {x}^2-25$
Solución
Vamos a probar cada uno de los polinomios:
$latex f(x) = {x}^3-x -6$, $latex g(x) = {x}^2-3x +4$, $latex h(x) = {x}^2-25$
Asumimos que x+5 es un factor de los polinomios, entonces, usamos x =5.
Primero,
$latex f(x) = {x}^3-x -6$
$latex f(-5) = {(-5)}^3-(-5) -6$
$latex f(-5) = -75 + 5 -6 $
$latex f(-5) = -76 $
Segundo
$latex g(x) = {x}^2-3x +4$
$latex g(-5) = {(-5)}^2-4(-5) +4$
$latex g(-5) = 25+20 +4$
$latex g(-5) = 49$
Tercero
$latex h(x) = {x}^2-25$
$latex h(-5) = {(-5)}^2-25$
$latex h(-5) = 25 – 25$
$latex h(-5) = 0 $
Vemos que solo h(-5) = 0 fatisface el teorema del factor. Entonces, solo h(x) es una función polinómica que contiene al factor x+5.
EJERCICIO 5
Encuentra la solución exacta de la función $latex f(x) = {x}^2 + 5x – 36$.
Solución
Para encontrar la solución de la función, asumimos que (x-c) es un factor polinomial, donde x=c.
Para satisfacer el teorema del factor, necesitamos tener F(c) = 0. Por lo tanto,
$latex f(x) = {x}^2+ 5x -36$.
$latex {x}^2+ 5x -36 = 0$.
Factorando, tenemos:
$latex (x+9)(x-4) = 0$.
Esto significa que x+3 y x-2 son los factores polinómicos de la función.
Entonces, x+9=0, lo que significa que x=-9 y x-4=0, lo que significa que x=4.
Por tanto, las soluciones de la función f(x) son -9 y 4.
EJERCICIO 6
Encuentra los factores de este polinomio, $latex F(x)= {x}^2 -25$.
Solución
Según el teorema del factor, si tenemos que (x-c) es un factor de f(x), entonces debemos tener f(c)=0.
Factorizando tenemos,
$latex F(x)= {x}^2 -25$
$latex {x}^2 -25 = o$
entonces,
$latex (x+5)(x-5) = 0$.
Por lo tanto, x+5 y x-5 son factores polinómicos.
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Ejercicios del teorema del factor para resolver
Resuelve los siguientes problemas del teorema del factor y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa el teorema del factor detallado arriba para resolver los ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejemplos resueltos anteriormente.
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Véase también
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