Método de Newton-Raphson – Ejercicios resueltos

El método Newton-Raphson es un algoritmo utilizado para hallar las raíces de una función. Es un método iterativo que utiliza la derivada de la función para mejorar la precisión de la estimación de la raíz en cada iteración.

En este artículo haremos una breve introducción al método Newton-Raphson, incluyendo sus pasos y ventajas. También proporcionaremos ejemplos del uso del método para encontrar la raíz de una función.

CÁLCULO
Fórmula del método de Newton Raphson

Relevante para

Aprender sobre el método Newton-Raphson con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula del método de Newton Raphson

Relevante para

Aprender sobre el método Newton-Raphson con ejercicios.

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Pasos para aplicar el método de Newton-Raphson

El método Newton-Raphson es un algoritmo iterativo para encontrar las raíces de una función. Para utilizar el método, sigue estos pasos:

1. Escoge un valor de x inicial.

Este valor es una estimación en donde esperamos que haya una raíz.

2. Encuentra el valor de la función usando el valor de x del paso 1.

3. Encuentra el valor de la derivada de la función usando el valor de x del paso 1.

4. Usa los valores encontrados para actualizar la estimación de la raíz mediante la siguiente fórmula:

$$x_{r+1}=x_{r}-\frac{f(x_r)}{f^{\prime}(x_r)}$$

5. Repite los pasos 2-4 hasta que la estimación de la raíz converja a un valor preciso.


Ventajas y desventajas del método de Newton-Raphson

Una de las principales ventajas del método Newton-Raphson es que puede converger a la raíz de una función rápidamente, a menudo en unas pocas iteraciones.

Además, el método puede manejar funciones de cualquier complejidad, incluidas funciones no lineales. Esto lo convierte en un algoritmo eficaz para encontrar raíces de funciones complejas.

Otra ventaja del método Newton-Raphson es que utiliza la derivada de la función para aproximar la raíz, lo que puede proporcionar una estimación más precisa de la raíz en comparación con otros métodos que no utilizan derivadas.

Sin embargo, el método Newton-Raphson también presenta algunos inconvenientes. Uno de los principales inconvenientes es que el método puede no converger si la estimación inicial está demasiado lejos de la raíz verdadera.

Además, el método puede converger a un mínimo o máximo local en lugar de al mínimo o máximo global, lo que puede llevar a una estimación incorrecta de la raíz.

Por último, el método requiere el cálculo de derivadas, lo que puede resultar difícil para algunas funciones.


Ejercicios resueltos del método de Newton-Raphson

EJERCICIO 1

Usar el método de Newton-Raphson para encontrar una raíz negativa del siguiente polinomio cúbico:

$$x^3-2x+1$$

Usar como punto de partida el valor $latex x_0=-1.5$ para encontrar por aproximaciones sucesivas el valor de la raíz con tres decimales de precisión.

Solución

EJERCICIO 2

Hallar con precisión de tres decimales el valor de x que satisface la siguiente ecuación:

$$ln(x)=2$$

Solución

EJERCICIO 3

Hallar el valor de x que satisface la siguiente ecuación:

$$ x^x = 5 $$

Solución

EJERCICIO 4

Interpretar geométricamente el significado de la fórmula del método de Newton – Raphson:

$$ x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

Solución

EJERCICIO 5

Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:

$$ cos(x) = x^2 $$

Solución

EJERCICIO 6

Encontrar las raíces de la función:

$$ tgh(x) + x^2 -1$$

Solución

EJERCICIO 7

Resolver mediante el método de Newton – Raphson la siguiente ecuación:

$$ e^x = 2 – x^2 $$

con un mínimo de cuatro cifras decimales exactas.

Solución

EJERCICIO 8

Use el método de Newton Raphson para obtener una aproximación de por lo menos tres decimales exactos de:

$$ \sqrt[6]2$$

Solución

EJERCICIO 9

Hallar un valor aproximado con por lo menos tres dígitos de precisión de:

$$\sqrt {\sqrt 2}$$

Solución

EJERCICIO 10

Use el método de Newton Raphson para hallar una aproximación decimal de:

$$ln(13)$$

Solución

Ejercicios de método de Newton – Raphson para resolver

Práctica de método de Newton-Raphson
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¡Has completado los ejercicios!

Usa el método Newton Raphson para encontrar la raíz de $latex x\ln (x)=2$ que se encuentra entre $latex x=2$ y $latex x=3$.

Escribe la respuesta a tres lugares decimales.

$latex x=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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