El método Newton-Raphson es un algoritmo utilizado para hallar las raíces de una función. Es un método iterativo que utiliza la derivada de la función para mejorar la precisión de la estimación de la raíz en cada iteración.
En este artículo haremos una breve introducción al método Newton-Raphson, incluyendo sus pasos y ventajas. También proporcionaremos ejemplos del uso del método para encontrar la raíz de una función.
Pasos para aplicar el método de Newton-Raphson
El método Newton-Raphson es un algoritmo iterativo para encontrar las raíces de una función. Para utilizar el método, sigue estos pasos:
1. Escoge un valor de x inicial.
Este valor es una estimación en donde esperamos que haya una raíz.
2. Encuentra el valor de la función usando el valor de x del paso 1.
3. Encuentra el valor de la derivada de la función usando el valor de x del paso 1.
4. Usa los valores encontrados para actualizar la estimación de la raíz mediante la siguiente fórmula:
$$x_{r+1}=x_{r}-\frac{f(x_r)}{f^{\prime}(x_r)}$$
5. Repite los pasos 2-4 hasta que la estimación de la raíz converja a un valor preciso.
Ventajas y desventajas del método de Newton-Raphson
Una de las principales ventajas del método Newton-Raphson es que puede converger a la raíz de una función rápidamente, a menudo en unas pocas iteraciones.
Además, el método puede manejar funciones de cualquier complejidad, incluidas funciones no lineales. Esto lo convierte en un algoritmo eficaz para encontrar raíces de funciones complejas.
Otra ventaja del método Newton-Raphson es que utiliza la derivada de la función para aproximar la raíz, lo que puede proporcionar una estimación más precisa de la raíz en comparación con otros métodos que no utilizan derivadas.
Sin embargo, el método Newton-Raphson también presenta algunos inconvenientes. Uno de los principales inconvenientes es que el método puede no converger si la estimación inicial está demasiado lejos de la raíz verdadera.
Además, el método puede converger a un mínimo o máximo local en lugar de al mínimo o máximo global, lo que puede llevar a una estimación incorrecta de la raíz.
Por último, el método requiere el cálculo de derivadas, lo que puede resultar difícil para algunas funciones.
Ejercicios resueltos del método de Newton-Raphson
EJERCICIO 1
Usar el método de Newton-Raphson para encontrar una raíz negativa del siguiente polinomio cúbico:
$$x^3-2x+1$$
Usar como punto de partida el valor $latex x_0=-1.5$ para encontrar por aproximaciones sucesivas el valor de la raíz con tres decimales de precisión.
Solución
Para aplicar el método han de seguirse los siguientes pasos:
1) Definir la función a la cual se le hallarán sus ceros o raíces, en este ejemplo es: $latex f(x)=x^2-2x+1$
2) Hallar la derivada de dicha función: $latex f^{\prime}(x)= 3x^2-2$
3) Elegir el punto de partida, en nuestro ejemplo este valor está dado: $latex x_{0}=-1.5 $
4) Evaluar la función y su derivada en x₀ : $latex f(x_{0})= 0.625$; $latex ~f^{\prime}(x_{0})= 4. 75$
5) Aplicar la fórmula iterativa de Newton-Raphson para hallar una primera estimación:
$$ x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$$
$$x_{1}= -1. 6316 $$
6) Repetir pasos 4) y 5) hasta que la estimación coincida con el número de decimales deseados:
$latex f(x_{1})= -8. 0187×10^{-2}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{1})= 5. 9861$
$$ x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f^{\prime}(x_{1})}~~~~ x_{2}= -1. 6182 $$
$latex f(x_{2})= -8. 7589×10^{-4} ~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{2})= 5. 8556$
$$ x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f^{\prime}(x_{2})}~~~~ x_{3}= -1. 618$$
7) En este ejemplo solo fue necesario tomar 3 iteraciones, dado que se han repetido las tres cifras decimales entre la segunda y tercera iteración.
Se toma como valor de la raíz el valor de la última iteración: Solución: $latex x=-1.618$.
EJERCICIO 2
Hallar con precisión de tres decimales el valor de x que satisface la siguiente ecuación:
$$ln(x)=2$$
Solución
Se define la función a la que se ha de encontrar sus ceros (o raíces). También se calcula su derivada.
$$f(x)=ln(x)-2$$
$$ f^{\prime}(x)= \frac{1}{x} $$
Se explora la función para tomar un valor inicial. Por ejemplo, $latex f(7)=-0.054$ y $latex f(8)=+0.079$, lo que nos indica que la raíz está entre 7 y 8.
Tomaremos como valor inicial 8, $latex x_{0}=8$:
$latex f(x_{0})= 7. 9442×10^{-2}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{0})= 0.125$
$$ x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0}}{f^{\prime}(x_{0})} ~~~~ x_{1}= 7. 3645$$
$latex f(x_{1})= -3. 3332×10^{-3}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{1})= 0.13579$
$$ x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1}}{f^{\prime}(x_{1})} ~~~~ x_{2}= 7. 389$$
$latex f(x_{2})= -5. 5429×10^{-6}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{2})= 0.13534$
$$ x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2}}{f^{\prime}(x_{2})} ~~~~ x_{3}= 7. 3891$$
Concluimos que la solución de la ecuación ln(x)=2 es x=7.389 con precisión de tres decimales.
EJERCICIO 3
Hallar el valor de x que satisface la siguiente ecuación:
$$ x^x = 5 $$
Solución
La ecuación dada es equivalente a:
$$ x^x – 5 = 0 $$
Definimos la función f: $latex f(x)= x^x – 5 $
Si se halla el valor que anula la función, entonces se habrá resuelto la ecuación original.
Como se trata de una ecuación no-lineal, es necesario hallar la solución por medio de algún método numérico, como lo es el método de Newton – Raphson.
Para aplicar este método es necesario calcular la derivada de la función f(x), la cual llamaremos f'(x):
$$ f'(x) = x^x (ln(x) +1) $$
Si $latex x_i $ es un valor cercano a la raíz, un valor más cercano aún será: $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$.
Si se repite el procedimiento con el nuevo valor obtenido, se tendrá un valor aún más cercano al verdadero. Repitiendo sucesivamente se puede tener un resultado con una precisión tal alta como se desee.
En este ejemplo tomaremos como punto de partida el valor $latex x_0 = 2$ y como muestra la tabla siguiente, apenas con cuatro iteraciones se encuentra el valor de x que anula a la función f(x), con una precisión de 6 decimales:
| $latex i$ | $latex x_{i}$ | $latex f(x_{i})$ |
| 0 | 2 | -1 |
| 1 | 2.1476540273 | 0.1635039111 |
| 2 | 2.1297070022 | 0.0029377859 |
| 3 | 2.1293725959 | 0.0000009937 |
| 4 | 2.1293724828 | 0 |
$latex |x_{4}-x_{3}|=0.0000001131$
EJERCICIO 4
Interpretar geométricamente el significado de la fórmula del método de Newton – Raphson:
$$ x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$
Solución
La interpretación geométrica es la siguiente:
En la gráfica de la función $latex y=f(x)$, se toma el valor $latex x=x_i$ y se obtiene su correspondiente valor $latex y_i = f(x_i)$. Eso representa un punto P de coordenadas $latex (x_i, f(x_i))$ sobre la curva de la función $latex f(x)$.
Si por ese punto se traza la recta tangente a la curva, entonces esa recta corta al eje X en el punto $latex x_{i+1}$.
Recordando que la pendiente de la recta tangente a la curva de la función $latex f(x)$ es su derivada $latex f'(x)$, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto P es $latex f'(x_i)$.
Pero la pendiente también es la tangente del ángulo de inclinación de la recta en el punto de corte con el eje X, la cual se calcula así:
$$ f'(x_i) = \frac{f(x_i)-0}{x_i – x_{i+1}}$$
Si se despeja $latex x_{i+1} $ de la ecuación anterior, entonces se obtiene la fórmula del método de Newton – Raphson:
$$ x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$
EJERCICIO 5
Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:
$$ cos(x) = x^2 $$
Solución
1.- Se trata de una ecuación no lineal que no tiene una solución analítica exacta.
2.- Se define la función $latex f(x) = cos(x) – x^2 $. Los ceros de esta función, es decir los valores de x que satisfacen $latex f(x)=0$ son las soluciones de la ecuación original.
3.- Se traza un gráfico de la función $latex f(x)$:
4.- Del gráfico se observa que la función tiene dos raíces, una cercana al valor x=-1 y la otra al valor x=+1.
5.- Para determinar con mayor precisión el valor de la raíces de la función f(x) se usa el método de Newton – Raphson. Este método requiere la función derivada $latex f^{\prime}(x)$, la cual es $latex f^{\prime}(x) = -\sin(x)-2x$.
6.-El método requiere también que se le proporcione un valor inicial x0, tal que $latex f'(x_0) \neq 0$ y que esté lo mas cercano posible al valor verdadero de la raíz.
7.- Para hallar la primera raíz tomamos como punto de inicio x0 = -1. Aplicamos recursivamente la fórmula del método partiendo desde i=0 hasta i=4. Los resultados se muestran a continuación:
El valor de la primera raíz es: $latex x_{r1} = -0.824132312$ donde los primeros ocho decimales son exactos y el noveno es estimado.
8.- Si se toma como punto de partida x0 = +1 , el método de Newton Raphson, después de cuatro iteraciones da la segunda raíz: $latex x_{r2} = +0.824132312$, resultado que podía haberse previsto debido a la simetría de la función f(x).
EJERCICIO 6
Encontrar las raíces de la función:
$$ tgh(x) + x^2 -1$$
Solución
Es conveniente trazar la gráfica de la función para tener una idea de la ubicación de las raíces. Una de las raíces es positiva (cercana a +0.5) y la otra negativa (cercana a -1.5).
El método de Newton – Raphson requiere calcular la derivada de f(x):
$$ f'(x) = 1 – tgh^2(x) +2x $$
Partiendo con el valor inicial x0 = 0, en cinco iteraciones de la fórmula $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ se obtiene el valor de la raíz positiva con ocho decimales de precisión:
La raíz positiva de la función dada es: 0.65295190
Para obtener la raíz negativa se parte de un valor cercano a la misma, x0=-1.5
La raíz negativa de la función dada es: -1.3707713181, con una precisión de diez decimales.
EJERCICIO 7
Resolver mediante el método de Newton – Raphson la siguiente ecuación:
$$ e^x = 2 – x^2 $$
con un mínimo de cuatro cifras decimales exactas.
Solución
1.- Hacemos el gráfico de $latex e^x$ y de $latex 2-x^2$. Los puntos de intercepción son las soluciones gráficas del problema.
2.- Hay dos puntos de intercepción, los cuales corresponden a las soluciones de la ecuación dada. Uno de ellos tiene valor coordenada x cercana a -1.5 y el otro, coordenada x cercana a +0.5.
3.- Para aplicar el método de Newton – Rapson es necesario definir la función:
$$ f(x) = e^{x} -2 + x^2 $$
los valores donde $latex f(x)=0$ serán las soluciones de la ecuación dada.
4.- Se calcula la derivada de f(x):
$$ f'(x) = e^{x} + 2x $$
5.- Para hallar la primera de las raíces de f(x) se toma como punto de partida del método el valor x0=-1.5.
6.- Aplicamos la fórmula de Newton Raphson en forma sucesiva hasta llegar a la tolerancia deseada:
$latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$, comenzando con el valor inicial, x0 para obtener x1. Luego con x1 para obtener x2. Se repite hasta que la diferencia entre el valor último menos el anterior tenga valor absoluto menor o igual a 0.00001
7.- Los resultados numéricos se muestran a continuación:
obteniéndose el valor de la primera solución: x=-1.31597
8.- La segunda solución a la ecuación planteada es cercana a +0.5, por lo que se usará este como valor de partida para obtener la solución con la precisión solicitada de por lo menos cuatro decimales exactos.
9.- Debido a que se comenzó con un valor bastante cercano a la raíz exacta, se obtuvo un resultado con precisión de tres decimales exactos en apenas dos iteraciones:
La segunda solución a la ecuación dada originalmente es: x=+0.53727
EJERCICIO 8
Use el método de Newton Raphson para obtener una aproximación de por lo menos tres decimales exactos de:
$$ \sqrt[6]2$$
Solución
La ecuación a resolver es $latex \sqrt[6]2 =x $ que es equivalente a:
$latex x^6 -2 =0$ con x>0.
Entonces definimos $latex f(x) = x^6-2$ cuya derivada es $latex f^{\prime}(x)=6x^5 $.
Aplicando iterativamente la fórmula del método de Newton Raphson $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ y partiendo de x0=1 se obtiene:
Es decir:
$$ \sqrt[6]2=1.12246$$
EJERCICIO 9
Hallar un valor aproximado con por lo menos tres dígitos de precisión de:
$$\sqrt {\sqrt 2}$$
Solución
La ecuación a resolver es $latex \sqrt[4]2 =x $ que es equivalente a:
$latex x^4 -2 =0$ con x>0.
Entonces definimos $latex f(x) = x^4-2$ cuya derivada es $latex f'(x)=4x^3 $.
Aplicando iterativamente la fórmula del método de Newton Raphson $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ y partiendo de x0=1 se obtiene:
Se concluye que:
$$\sqrt {\sqrt 2}= 1.18920$$
EJERCICIO 10
Use el método de Newton Raphson para hallar una aproximación decimal de:
$$ln(13)$$
Solución
La ecuación a resolver es: $latex ln(13)=x $
Tomando función exponencial con base e en ambos miembros se tiene $latex e^x=13 $.
Se define la función $latex f(x)= e^x – 13$ a la cual se le aplicará en método de Newton – Raphson.
La derivada de f es: $latex f'(x)=e^x$
Comenzamos el proceso iterativo de la fórmula $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$, con el valor inicial x0 = 2, obteniéndose los siguientes valores:
Como resultado final se tiene:
$$ln(13) = 2.5649$$
Ejercicios de método de Newton – Raphson para resolver
Usa el método Newton Raphson para encontrar la raíz de $latex x\ln (x)=2$ que se encuentra entre $latex x=2$ y $latex x=3$.
Escribe la respuesta a tres lugares decimales.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
