Derivadas parciales de segundo orden con ejercicios

Las derivadas parciales de segundo orden describen la razón a la que cambia la propia derivada parcial con respecto a sus variables. Esta información es fundamental para comprender sistemas complejos, desde el flujo de calor a través de una superficie hasta el comportamiento de los mercados económicos.

En este artículo exploraremos el concepto de derivadas parciales de segundo orden. Conoceremos cómo se calculan y veremos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Las cuatro derivadas parciales de segundo grado

Relevante para

Aprender sobre las derivadas parciales de segundo orden.

Ver ejercicios

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¿Cómo calcular derivadas parciales de segundo orden?

Las derivadas parciales de segundo orden son encontradas al calcular la derivada parcial de una función dos veces con respecto a las variables dadas.

Por ejemplo, si tenemos la función $latex z=f(x, y)$, entonces:

$latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$ y $latex \dfrac{\partial^2{f} }{\partial x^2}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$

Estas derivadas también pueden ser escritas como $latex f_{xx}$ y $latex f_{yy}$, que es la notación de subíndice.

Las derivadas parciales de segundo orden no tienen que ser necesariamente siempre con respecto a una misma variable. También podemos calcular derivadas parciales mixtas:

$latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)~$ y $latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial }{\partial{y}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$

Estas derivadas son denotadas como $latex f_{xy}$ y $latex f_{yx}$ respectivamente.

Nota: Como veremos en los ejercicios a continuación, resulta que $latex f_{xy}=f_{yx}$ siempre es verdadero.

Si necesitas hacer una revisión sobre las derivadas parciales de primer orden, puedes visitar este artículo.


Ejercicios resueltos de derivadas parciales de segundo orden

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada $latex \dfrac{\partial^2{f} }{\partial x^2}$ de la siguiente función:

$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$

Para calcular esta derivada, tenemos que derivar a la función dada dos veces con respecto a $latex x$, mientras la variable $latex y$ se mantiene constante.

Entonces, la derivada parcial de primer orden con respecto a $latex x$ es:

$$\dfrac{\partial{d}f}{\partial x}=6x+4y$$

Al derivar al término $latex 3x^2$ con respecto a $latex x$, tenemos $latex 6x$. Al derivar al término $latex 4xy$ con respecto a $latex x$, tenemos $latex 4y$.

La derivada de $latex y^2$ con respecto a $latex x$ es cero, ya que la variable $latex y$ se mantiene constante.

Ahora, derivamos a $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $latex x$:

$$\dfrac{\partial^2{f}}{\partial x^2}=6$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada $latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial y^2}$ de la siguiente función?

$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$

En este caso, vamos que derivar a la función dada dos veces con respecto a $latex y$, mientras la variable $latex x$ se mantiene constante.

Entonces, derivando a la función con respecto a $latex y$, tenemos:

$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x+2y$$

El término $latex 3x^2$ es constante, por lo que su derivada es cero.

Ahora, podemos calcular la $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ con respecto a $latex y$:

$$\dfrac{\partial^2{f} }{\partial y^2}=2$$

EJERCICIO 3

Encuentra las derivadas $latex f_{xy}$ y $latex f_{yx}$ de la siguiente función:

$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$

Para resolver este ejercicio, tenemos que calcular las derivadas parciales de la función tanto con respecto a $latex x$, como con respecto a $latex y$:

$latex f_{x}=6x+4y$

$latex f_{y}=4x+2y$

Ahora, encontramos la derivada de segundo orden de $latex f_{x}$ y $latex f_{y}$ con respecto a la otra variable:

$latex f_{xy}=4$

$latex f_{yx}=4$

Vemos que la derivada obtenida es la misma. La igualdad $latex f_{xy}=f_{yx}$ siempre es verdadera.

EJERCICIO 4

Halla las derivadas parciales de segundo orden de

$latex f(x, y) = x^3y + x^2y^2$

Para empezar, hallamos las derivadas parciales de primer orden:

$$f_{x} = 3x^2y + 2xy^2$$

$$f_{y} = x^3 + 2xy$$

A continuación, diferenciamos cada una de estas derivadas parciales de primer orden con respecto a la misma variable y a la otra variable:

$latex f_{xx} = 6xy + 6x^2$

$latex f_{xy} = 3x^2 + 4xy$

$latex f_{yx} = 3x^2 + 4xy$

$latex f_{yy} = 2x$

EJERCICIO 5

Encuentra las cuatro derivadas parciales de segundo orden de

$latex f(x, y)=x^2+xy^3-y^2$

Para encontrar las cuatro derivadas parciales de segundo orden, tenemos que empezar calculando las dos derivadas parciales de primer orden:

$latex f_{x}=2x+y^3$

$latex f_{y}=3xy^2-2y$

Ahora, podemos derivar cada una de estas expresiones con respecto a $latex x$ y a $latex y$:

$latex f_{xx}=2$

$latex f_{xy}=3y^2$

$latex f_{yx}=3y^2$

$latex f_{yy}=6xy-2$

EJERCICIO 6

Encuentra las derivadas parciales de segundo orden de la siguiente función:

$latex f(x, y) = x^3y^2 – 2x^2y + 5xy^3$

Primero, hallamos las derivadas parciales de primer orden con respecto a $latex x$ y con respecto a $latex y$:

$latex f_{x} = 3x^2y^2 – 4xy + 5y^3$

$latex f_{y} = 2x^3y – 2x^2 + 15xy^2$

A continuación, diferenciamos cada una de estas derivadas parciales de primer orden con respecto a ambas variables:

$latex f_{xx} = 6xy^2 – 4$

$latex f_{xy} = 6x^2y-4x + 15y^2$

$latex f_{yx} = 6x^2y-4x+15y^2$

$latex f_{yy} = 2x^3 + 30xy$

EJERCICIO 7

Tenemos la función $latex f(x, y)= ax^2+by^2$, en donde $latex a $ y $latex b$ son constantes.

Encuentra la relación entre $latex a$ y $latex b$ de modo que $latex f_{xx}+f_{yy}=0$.

Para resolver este problema, empezamos encontrando las derivadas parciales de primer orden:

$latex f_{x}=2ax$

$latex f_{y}=2by$

Ahora, podemos calcular las derivadas parciales $latex f_{xx}$ y $latex f_{yy}$:

$latex f_{xx}=2a$

$latex f_{yy}=2b$

Esto significa que tenemos:

$latex f_{xx}+f_{yy}=2a+2b$

Queremos que esto sea igual a 0, por lo que tenemos $latex b=-a$. Por lo tanto, la función original puede escribirse como:

$latex f(x,y)=a(x^2-y^2)$

EJERCICIO 8

Encuentra las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la siguiente función:

$latex f(x, y) = \sin(x)\cos(y)$

Las derivadas parciales de primer orden son:

$latex f_{x} = \cos(x)\cos(y)$

$latex f_{y} = -\sin(x)\sin(y)$

Luego, derivamos a cada una de esas derivadas parciales de primer orden con respecto a ambas variables:

$latex f_{xx} = -\sin(x)\cos(y)$

$latex f_{xy} = -\cos(x)\sin(y)$

$latex f_{yx} = -\cos(x)\sin(y)$

$latex f_{yy} = -\sin(x)\cos(y)$


Ejercicios de derivadas parciales de segundo grado para resolver

Práctica de derivadas parciales de segundo orden
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra la derivada parcial $latex f_{xy}$ de $latex f(x, y) = x^2\sin(y)+\cos(2x)y$.

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex f_{xy}=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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