Las derivadas parciales son un concepto del cálculo multivariante que nos permite medir cómo cambia una función al variar una de sus variables, mientras las demás se mantienen constantes. Suelen utilizarse en física, ingeniería y economía para modelizar sistemas en los que intervienen múltiples variables.
En este artículo, ofreceremos una introducción más detallada a las derivadas parciales, incluyendo cómo calcularlas. Luego, veremos varios ejercicios para practicar los conceptos.
¿Cómo encontrar derivadas parciales de funciones?
Para encontrar la derivada parcial de una función respecto a una de sus variables, puedes seguir estos pasos:
Paso 1: Escribe la función en términos de las variables con respecto a las cuales quieres diferenciarla.
Por ejemplo, si quieres hallar la derivada parcial de la función $latex f(x,y,z)$ con respecto a $latex x$, la escribirías como $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$.
Paso 2: Toma la derivada de la función respecto a la variable que te interesa. En este caso, se tomaría la derivada de $latex f(x,y,z)$ con respecto a $latex x$.
Paso 3: Trata las otras variables de la función como constantes mientras tomas la derivada. Esto significa que puedes ignorar la derivada de $latex y$ y $latex z$, y centrarte solo en la derivada de $latex x$.
Por ejemplo, si $latex f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, la derivada parcial de f con respecto a x sería $latex 2x$, ya que y y z se tratan como constantes.
También es importante tener en cuenta que la derivada parcial de una función es un concepto del cálculo multivariante, que es una rama de las matemáticas que trata funciones de múltiples variables.
Ejercicios resueltos de derivadas parciales
EJERCICIO 1
Dada la siguiente función:
$$f(x,y)=(2x+y^{2})$$
Encuentre sus derivadas parciales de primer orden, respecto de la variables x e y.
Solución
La notación de derivada parcial es similar al de la derivada normal, solo que, en cambio, de la letra d se usa el símbolo ∂.
Por otra parte, cuando se deriva parcialmente una función con respecto a una de sus variables, las otras variables se toman como si fuesen constantes durante el procedimiento del cálculo de la derivada parcial.
Por ejemplo, para tomar la derivada parcial de f (x,y) respecto de x, la variable y se toma como si fuese una constante:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x} (2x+y^{2})=\allowbreak 2 $$
Similarmente, al calcular la derivada parcial de f(x,y) respecto de y, la variable x actúa como si fuese una constante durante el proceso del cálculo de la derivada:
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y} (2x+y^{2})=\allowbreak 2y $$
EJERCICIO 2
Hallar las derivadas parciales de primer orden de la siguiente función de dos variables:
$$f(x,y)=2xy^{2} $$
Solución
Para hallar la derivada parcial respecto de la variable x, se toma como constante a la segunda variable y de la función y se procede como en las derivadas ordinarias.
En nuestro caso, $latex 2y^2$ es una constante que sale del operador derivada y que multiplica a la derivada parcial de x respecto de x, la cual es 1. El detalle se muestra a continuación:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x} (2xy^{2})=\allowbreak 2y^{2} $$
Similarmente, para hallar la derivada parcial respecto de y, la variable x se toma como constante. Entonces 2x sale de la fuera de la operación de derivación respecto de y, luego se deriva y al cuadrado respecto de y:
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y} (2xy^{2})=\allowbreak 4xy $$
EJERCICIO 3
Se tiene la siguiente función de dos variables:
$$f(x,y)=\dfrac{3x}{y^{2}} $$
Hallar la derivada parcial de la función f(x,y) respecto de x y la derivada parcial de f(x,y) respecto de y.
Solución
Para calcular la parcial respecto de x, se toma como constante la y, de modo que $latex \frac{3}{y^2}$ sale fuera del símbolo de derivación y queda multiplicando a la derivada de x respecto de x, la cual es 1.
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}( \dfrac{3x}{y^{2}})=\allowbreak \dfrac{3}{y^{2}} $$
Similarmente, para hallar la parcial respecto de y se toma como constante x y sale 3x como factor que precede al símbolo de derivada, luego se toma la derivada de 1 sobre y al cuadrado, la cual es -2 por y elevado a la menos 3.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}( \dfrac{3x}{y^{2}})=\allowbreak -6\dfrac{x}{y^{3}} $$
EJERCICIO 4
Calcular las derivadas parciales de primer orden de la siguiente función de dos variables:
$$f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y}{x+y^{2}} $$
Solución
Para hallar $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ se toma como constante la variable y. Luego se procede como una derivada ordinaria. En este caso se ha usado la ‘fórmula’ de la derivada de un cociente.
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{ x^{2}-y}{x+y^{2}}\right)$$
$$ =\allowbreak \dfrac{1}{\left( y^{2}+x\right) ^{2}} \left( x^{2}+2xy^{2}+y\right) $$
De forma semejante, para hallar $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ se toma como constante la variable x, y se aplica la ‘fórmula’ de la derivada de un cociente.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ x^{2}-y}{x+y^{2}}\right)$$
$$ =\allowbreak -\dfrac{1}{\left( y^{2}+x\right) ^{2}} \left( 2x^{2}y+x-y^{2}\right) $$
EJERCICIO 5
Sea:
$$ f(x,y)=\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} $$
Hallar: $latex \dfrac{\partial f}{\partial x} $ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y} $.
Solución
Tenemos lo siguiente:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \sqrt{ \dfrac{x-y}{x+y}}\right) $$
$$=\allowbreak \dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} \left( x+y\right) ^{2}} $$
Tomando x como constante se deriva de la forma habitual respecto de y.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \sqrt{ \dfrac{x-y}{x+y}}\right) $$
$$=\allowbreak -\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} \left( x+y\right) ^{2}} $$
EJERCICIO 6
Dada la función:
$$f(x,y)=(2x^{2}+y^{3}) $$
Hallar: $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} $, $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y^{2}} $ y $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y \partial x} $.
Solución
Como se trata de una derivada segunda respecto de x, primero se toma la parcial respecto de x y el resultado se deriva nuevamente respecto de x.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}}{ \partial x^{2}}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{ \partial }{\partial x}(2x^{2}+y^{3})\right)$$
$$ =\dfrac{\partial }{\partial x} \left( 4x\right) =\allowbreak 4 $$
Para obtener derivada segunda respecto de y, primero se toma la parcial respecto de y y el resultado se deriva nuevamente respecto de y.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}}{ \partial y^{2}}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ \partial }{\partial y}(2x^{2}+y^{3})\right) $$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3y^{2}\right) =\allowbreak 6y $$
Como se trata de una derivada segunda mixta, primero se toma la parcial respecto de x y el resultado se deriva nuevamente respecto de y.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial ^{2}}{\partial y\partial x}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ \partial }{\partial x}(2x^{2}+y^{3})\right) $$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y} \left( 4x\right) =\allowbreak 0 $$
EJERCICIO 7
Sea la función:
$$f(x,y)=-3x^{2}y^{3} $$
Encontrar: $latex f_{x}(2,3)$ y $latex f_{y}\left( 2,3\right) $.
Solución
La notación $latex f_{x}(x,y)$ es una forma abreviada de escribir $latex\dfrac{ \partial f(x,y)}{\partial x} $
$latex f_{x}(2,\,1) $ significa evaluar la derivada parcial respecto de x en el punto de coordenadas $latex x=2 $ e $latex y=1 $.
$$ f_x (2,1)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} |_{(2, \, 1)} $$
$$= \dfrac{\partial (-3x^{2}y^{3})}{\partial x} | _{(2,\,1)}$$
$$=-6xy^{3}|_{(2,\,1)}=-6\cdot 2\cdot 1^{3}= -12$$
Similarmente, $latex f_{y}(2,\,1) $ significa evaluar la derivada parcial respecto de y en el
punto de coordenadas $latex x=2 $ e $latex y=1 $.
$$f_{y}(2,1)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} |_{(2,\,1)}$$
$$=\dfrac{\partial (-3x^{2}y^{3})}{\partial y} |_{(2,\,1)}$$
$$= -9x^{2}y^{2}|_{(2,\,1)}=-9\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=\allowbreak -36$$
EJERCICIO 8
Dada la siguiente función:
$$f(x,y) = \ln (2x + y^2) $$
Determinar $latex D_x f$ y $latex D_y f$.
Solución
La notación $latex D_x f$ es una forma abreviada de escribir $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$.
$$D_{x}f=D_{x}\ln (2x+y^{2})$$
$$=\allowbreak \dfrac{2}{y^{2}+2x}$$
De manera análoga, $latex D_y f$ es equivalente a escribir $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$.
$$D_{y}f=D_{y}\ln (2x+y^{2})$$
$$=\allowbreak 2\dfrac{y}{y^{2}+2x}$$
EJERCICIO 9
Sea:
$$f(x,y)=x^y – y^x$$
Calcular $latex f_{xy}(2,3)$.
Solución
Empezamos por encontrar las derivadas parciales:
$$f_{xy}(2,3)=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}|_{(2,3)}$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial (x^{y}-y^{x})}{\partial y} = x^{y}\ln x-xy^{x-1}$$
$$ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \allowbreak x^{y}\ln x-xy^{x-1}\right) $$
$$=-\frac{1}{xy} \left( xy^{x}-x^{y}y+x^{2}y^{x}\ln y-x^{y}y^{2}\ln x\right) $$
Se procede ahora a sustituir x por 2 e y por 3:
$$f_{xy}(2,3)=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}|_{(2,3)}$$
$$=-\dfrac{1 }{2\cdot 3}\left( 2\cdot 3^{2}-2^{3}3+2^{2}3^{2}\ln 3-2^{3}3^{2}\ln 2\right) $$
Entonces, tenemos:
$$f_{xy}(2,3)=12\ln 2-6\ln 3+1= 2.7261$$
EJERCICIO 10
De la siguiente función de dos variables:
$$ f(x,y)=e^{x}\sin (y)$$
Calcúlese $latex D_{xx}f+D_{yy}f$.
Solución
$$D_{x}f=D_{x}(e^{x}\sin (y))= e^{x}\sin y $$
$$D_{xx}f=D_{x}(D_{x}f)=D_{x}(e^{x}\sin y)= e^{x}\sin y $$
Similarmente
$$D_{y}f=D_{y}(e^{x}\sin (y))= \left( \cos y\right) e^{x}$$
$$D_{yy}f=D_{y}(D_{y}f)=D_{y}(\left( \cos y\right) e^{x})= -e^{x}\sin y$$
Por lo tanto
$$D_{xx}f+D_{yy}f= e^{x}\sin y+(-e^{x}\sin y)=0$$
Ejercicios de derivadas parciales para resolver
Encuentra la derivada parcial de $latex f(x,y)=x^2+x\sin(y)$ con respecto a $latex y$.
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
