10 Ejercicios de segunda derivada de una función

La segunda derivada de una función es encontrada al derivar a la primera derivada de la función. Entonces, podemos encontrar la segunda derivada al derivar a una función dos veces. Las reglas usadas dependerán del tipo de función que tengamos. Por ejemplo, para funciones polinomiales, usamos la regla de la potencia de derivadas.

A continuación, resolveremos 10 ejercicios de la segunda derivada de una función. Además, exploraremos 5 problemas para poner a prueba tu conocimiento de este tema.

CÁLCULO
Segunda derivada de una función

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de la segunda derivada de una función.

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Segunda derivada de una función

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10 Ejercicios de la segunda derivada de una función resueltos

Los siguientes ejercicios tienen su respectiva solución, en donde aplicamos las reglas de las derivadas para encontrar la segunda derivada de las funciones.

EJERCICIO 1

Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=5x^3$.

Para encontrar la segunda derivada, tenemos que empezar encontrando la primera derivada de la función. Entonces, derivamos usando la regla de la potencia de derivadas:

$latex f(x)=5x^3$

$latex f'(x)=15x^2$

Ahora, usamos la regla de la potencia nuevamente para derivar a $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=15x^2$

$latex f^{\prime \prime}(x)=30x$

La segunda derivada es $latex f^{\prime \prime}(x)=30x$.

EJERCICIO 2

¿Cuál es la segunda derivada de la función $latex f(x)=4x^4-2x^2+7x$?

Podemos usar la regla de la potencia de derivadas en cada término de la función para encontrar la primera derivada:

$latex f(x)=4x^4-2x^2+7x$

$latex f'(x)=16x^3-4x+7$

Vamos a derivar a $latex f'(x)$ para encontrar la segunda derivada usando el mismo método:

$latex f'(x)=16x^3-4x+7$

$latex f^{\prime \prime}(x)=48x^2-4$

EJERCICIO 3

Encuentra la segunda derivada de la función $latex f(x)=5x^6+\frac{3}{x}$.

Tenemos una expresión racional. Entonces, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f(x)=5x^6+\frac{3}{x}$$

$latex f(x)=5x^6+3x^{-1}$

Ahora que solo tenemos exponentes numéricos, usamos la regla de la potencia para derivar:

$latex f(x)=5x^6+3x^{-1}$

$latex f'(x)=30x^5-3x^{-2}$

Al derivar a $latex f'(x)$, tenemos:

$latex f'(x)=30x^5-3x^{-2}$

$latex f^{\prime \prime}(x)=150x^4+6x^{-3}$

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir de la siguiente forma:

$latex f^{\prime \prime}(x)=150x^4+6x^{-3}$

$$f^{\prime \prime}(x)=150x^4+\frac{6}{x^3}$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la segunda derivada de $latex f(x) = -3x^{-5}+\sqrt{x}$?

Podemos escribir a la raíz cuadrada como un exponente numérico:

$$f(x) = -3x^{-5}+\sqrt{x}$$

$$f(x)=-3x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

Ahora, podemos encontrar la primera derivada de la siguiente forma:

$$f(x)=-3x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=15x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Encontramos la segunda derivada al derivar a $latex f'(x)$:

$$f'(x)=15x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-90x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

Podemos simplificar al usar las leyes de los exponentes y escribir de la siguiente forma:

$$f^{\prime \prime}(x)=-90x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{90}{x^7}-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$$

EJERCICIO 5

¿Cuál es la segunda derivada de $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$?

En este caso, tenemos una función trigonométrica. Podemos derivar al recordar que la derivada de seno es igual a coseno y la derivada de coseno es igual a menos seno:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Aplicamos las mismas reglas para derivar otra vez:

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

$latex f^{\prime \prime}(x)=-\sin(x)+\cos(x)$

EJERCICIO 6

Determina la segunda derivada de la función $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^{-3}+5$.

Podemos empezar simplificando de la siguiente forma:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^{-3}+5$$

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

Ahora, derivamos usando la regla de la potencia en cada término de la función:

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

Derivamos a $latex f'(x)$ para obtener la segunda derivada:

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

$$ f»(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

Usamos las leyes de los exponentes nuevamente para simplificar:

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4x^{\frac{5}{2}}}+\frac{36}{x^5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4\sqrt{x^5}}+\frac{36}{x^5}$$

EJERCICIO 7

Determina la segunda derivada de $latex f(x)=\frac{2}{3x^2}-\frac{4}{x^5}$.

Usamos las leyes de los exponentes para escribir así:

$$f(x)=\frac{2}{3x^2}-\frac{4}{x^5}$$

$$ f(x)=\frac{2}{3}x^{-2}-4x^{-5}$$

Usando la regla de la potencia en ambos términos de la función, tenemos:

$$f(x)=\frac{2}{3}x^{-2}-4x^{-5}$$

$$f'(x)=-\frac{4}{3}x^{-3}+20x^{-6}$$

Derivando a $latex f'(x)$, tenemos:

$$f'(x)=-\frac{4}{3}x^{-3}+20x^{-6}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=4x^{-4}-120x^{-7}$$

Finalmente, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f^{\prime \prime}(x)= \frac{4}{x^4}-\frac{120}{x^7}$$

EJERCICIO 8

Si es que tenemos $latex f(x)=4x^3$, encuentra $latex f'(x)$ y $latex f^{\prime \prime}(x)$. Luego, demuestra que $latex 3f(x)f^{\prime \prime}(x)-2f'(x)^2=0$.

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar encontrando la primera y la segunda derivada de la función. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=4x^3$

$latex f'(x)=12x^2$

$latex f^{\prime \prime}(x)=24x$

Ahora, podemos sustituir en el lado izquierdo de $latex 3f(x)f^{\prime \prime}(x)-2f'(x)^2=0$ y tenemos:

$latex 3f(x)f^{\prime \prime}(x)-2f'(x)^2=0$

$$3(4x^3)(24x)-2(12x^2)^2=0$$

$latex 288x^4-288x^4=0$

Vemos que el lado izquierdo es igual a 0, por lo que hemos demostrado lo requerido.

EJERCICIO 9

Si es que tenemos $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, demuestra que $latex 2xf^{\prime \prime}(x)+3f'(x)=0$

Similar al ejercicio anterior, tenemos que empezar encontrando la primera y la segunda derivada de la función. Entonces, tenemos:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$$

Ahora que tenemos las derivadas, vamos a sustituir en el lado izquierdo de $latex 2xf^{\prime \prime}(x)+3f'(x)=0$ y tenemos:

$latex 2xf^{\prime \prime}(x)+3f'(x)=0$

$$2x(\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}})+3(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})=0$$

$$\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}=0$$

El lado izquierdo es igual a 0, por lo que hemos demostrado que la expresión dada es verdadera.

EJERCICIO 10

Si es que tenemos $latex f(x)=x^4$, demuestra que $latex \frac{4y}{3}f^{\prime \prime}(x)-(f'(x))^2=0$.

Las derivadas de la función dada son las siguientes:

$latex f(x)=x^4$

$latex f'(x)=4x^3$

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2$

Ahora, podemos sustituir en el lado izquierdo de $latex \frac{4y}{3}f^{\prime \prime}(x)-(f'(x))^2=0$ y tenemos:

$$\frac{4y}{3}f^{\prime \prime}(x)-(f'(x))^2=0$$

$$\frac{4(x^4)}{3}(12x^2)-(4x^3)^2=0$$

$latex 16x^6-16x^6=0$

Vemos que el lado izquierdo es igual a 0, por lo que hemos demostrado que la expresión dada es verdadera.


5 Ejercicios de la segunda derivada de una función para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios al encontrar la segunda derivada de las funciones dadas. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

¿Cuál es la segunda derivada de $latex f(x)=4x^3+10x$?

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Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=2x^2-4x^4$.

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¿Cuál es la segunda derivada de $latex f(x)=\frac{2}{x^2}-x$?

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¿Cuál es la segunda derivada de la función $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$?

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Si es que tenemos la función $latex f(x)=\sqrt[3]{x}-x^3$, calcula su segunda derivada.

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Véase también

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