Las matrices 2×2 son matrices con dos filas y dos columnas. Sumar y restar este tipo de matrices es muy simple, ya que solo tenemos que sumar o restar las entradas correspondientes de las matrices.
En este artículo, exploraremos las reglas para sumar y restar matrices de 2×2, proporcionaremos ejemplos de cómo realizar estas operaciones y resolveremos algunos problemas de práctica.
¿Cómo sumar y restar matrices 2×2?
Para sumar o restar matrices de 2×2, hay que sumar o restar las entradas correspondientes de cada matriz.
Esto significa que solo tenemos que sumar o restar los elementos que se encuentran en las mismas posiciones de las matrices.
Por ejemplo, consideremos dos matrices de 2×2:
$$A = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 5& 6\\ 7& 8\end{bmatrix}$$
Para añadir estas matrices, basta con añadir las entradas correspondientes:
$$A+B = \begin{bmatrix} 1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 6& 8\\ 10& 12\end{bmatrix}$$
Para restar las matrices, restamos las entradas correspondientes:
$$A-B = \begin{bmatrix} 1-5& 2-6\\ 3-7& 4-8\end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} -4& -4\\ -4& -4\end{bmatrix}$$
Nota: Ten en cuenta que sólo puedes sumar o restar matrices del mismo tamaño, por lo que en este caso, las dos matrices deben ser matrices de 2×2.
Ejercicios resueltos de suma y resta de matrices 2×2
EJERCICIO 1
Encuentra la suma de las siguientes matrices:
$$A = \begin{bmatrix} 2& 3\\ 4& 5\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1& 1\\ 2& 2\end{bmatrix}$$
Solución
Para resolver esta suma, solo tenemos que sumar las entradas correspondientes:
$$A+B = \begin{bmatrix} 2+1& 3+1\\ 4+2& 5+2\end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 3& 4\\ 6& 7\end{bmatrix}$$
EJERCICIO 2
Determina la resta A-B de las siguientes matrices:
$$A = \begin{bmatrix} 2& 3\\ 4& 5\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1& 1\\ 2& 2\end{bmatrix}$$
Solución
En este caso, restamos los elementos correspondientes de la matriz B de los elementos correspondientes de la matriz A:
$$A-B = \begin{bmatrix} 2-1& 3-1\\ 4-2& 5-2\end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 2& 3\end{bmatrix}$$
EJERCICIO 3
¿Cuál es el resultado de la resta B-A?
$$A = \begin{bmatrix} 5& 7\\ 1& 8\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 6& 2\\ 9& 3\end{bmatrix}$$
Solución
Ten en cuenta que la resta B-A no es igual a la resta A-B. Debemos colocar a las matrices en el orden correcto para obtener el resultado:
$$B-A = \begin{bmatrix} 6-5& 2-7\\ 9-1& 3-8\end{bmatrix}$$
$$B-A = \begin{bmatrix} 1& -5\\ 8& -5\end{bmatrix}$$
EJERCICIO 4
Encuentra el resultado de sumar y restar (A-B) las siguientes matrices:
$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$
$$B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$
Solución
Sumando las dos matrices dadas, tenemos:
$$A + B = \begin{bmatrix} 2+4 & 0+0 \\ 0+0 & 3+4 \end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$
Restando las dos matrices, tenemos:
$$A – B = \begin{bmatrix} 2-4 & 0-0 \\ 0-0 & 3-4 \end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 5
Encuentra la suma y la diferencia A-B de las siguientes matrices:
$$A = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$$
Solución
Cuando sumamos las matrices A y B, tenemos:
$$A + B = \begin{bmatrix} -3+1 & 4-4 \\ 2-2 & -1+3 \end{bmatrix} $$
$$A+B= \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$
Cuando restamos la matriz B de la matriz A, tenemos:
$$A – B = \begin{bmatrix} -3-1 & 4+4 \\ 2+2 & -1-3 \end{bmatrix} $$
$$A-B= \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 6
Encuentra los valores de $latex a $ y $latex b$ teniendo en cuenta la siguiente información:
$$A = \begin{bmatrix} -8 & a \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ b & 3 \end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} -6 & -1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$$
Solución
Este ejercicio es diferente a los anteriores. En este caso, tenemos que determinar el valor de un elemento en cada matriz conociendo la suma de las matrices.
Para resolver esto, formamos la suma en cada posición requerida:
$latex a+(-5)=-1$
$latex 6+b=-2$
Ahora resolvemos las ecuaciones:
$latex a=4$
$latex b=-8$
EJERCICIO 7
¿Cuáles son los valores de $latex m $ y $latex n$?
$$A = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 7 & n\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} -m & 3 \\ -7 & -13 \end{bmatrix}$$
$$B-A = \begin{bmatrix} -4 & -9 \\ -14 & -16 \end{bmatrix}$$
Solución
Similar al ejercicio anterior, vamos a formar una ecuación con cada posición requerida:
$latex -4-(-m)=7$
$latex -16-(-13)=n$
Ahora resolvemos las ecuaciones:
$latex m=11$
$latex n=-3$
EJERCICIO 8
Encuentra el resultado de A+B-C:
$$A = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$
Solución
Por la propiedad asociativa de suma de matrices, podemos escribir (A + B – C) = (A + B) – C.
Entonces, empezamos encontrando el resultado de la suma A+B:
$$(A + B) = \begin{bmatrix} -2+3 & 5+(-6) \ 1+(-4) & -4+7 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -3 & 3 \end{bmatrix}$$
Luego, podemos restar C de (A+B):
$$(A + B) – C = \begin{bmatrix} 1-(-1) & -1-0 \ -3-2 & 3-3 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -5 & 0 \end{bmatrix}$$
Ejercicios de suma y resta de matrices 2×2 para resolver
Encuentra el valor de $latex m_{11}$ cuando tenemos M = A-B+C:
$$A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}}$$
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
