Un aspecto importante en el estudio del movimiento parabólico es el alcance o el rango de un proyectil. El «alcance de un proyectil» define la distancia horizontal que recorrerá un objeto lanzado bajo la influencia de la gravedad antes de volver a la misma posición vertical.
En este artículo exploraremos los factores que afectan al alcance horizontal y las ecuaciones que podemos utilizar para calcularlo. Luego, veremos algunos ejemplos con soluciones detalladas.
Ecuación para el alcance de un proyectil
El alcance en el movimiento parabólico es la distancia horizontal que recorre el proyectil desde su punto de lanzamiento hasta el punto en que vuelve a la altura de lanzamiento.
El alcance de un proyectil depende de varios factores: la velocidad inicial a la que se lanza el objeto, el ángulo de lanzamiento y la aceleración debida a la gravedad.
La ecuación para el alcance ($latex R$) de un proyectil, lanzado a una velocidad inicial ($latex u$) con un ángulo ($latex \theta$) respecto a la horizontal, en condiciones ideales (sin resistencia del aire), y suponiendo que las alturas inicial y final son iguales, viene dada por:
$$R = \frac{u^2\sin(2\theta)}{g}$$
donde:
- $latex R$ es el alcance, rango o distancia horizontal recorrida,
- $latex u$ es la velocidad inicial,
- $latex g$ es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s² en la superficie de la Tierra), y
- $latex \theta$ es el ángulo entre la dirección de la velocidad inicial y la horizontal.
Esta ecuación se obtiene combinando las ecuaciones que rigen los desplazamientos vertical y horizontal de un proyectil. Para la componente vertical o altura, tenemos:
$latex h=ut \sin (\theta)-\frac{1}{2}gt^2$
Usando esto, podemos encontrar el tiempo que tarda el proyectil en golpear de nuevo el suelo. Esto ocurre cuando $latex h=0$:
$latex 0=ut \sin (\theta)-\frac{1}{2}gt^2$
$latex \frac{1}{2}gt^2=ut \sin (\theta)$
Resolviendo para el tiempo:
$$t=\frac{2u\sin(\theta)}{g}$$
Ahora, para el componente horizontal, tenemos:
$latex s=ut\cos(\theta)$
El desplazamiento horizontal o alcance, $latex R$ se produce cuando el proyectil toca el suelo. Es decir, cuando $latex h=0$ y cuando $latex t=\frac{2u\sin(\theta)}{g}$. Entonces,
$$R=u\times \frac{2u\sin(\theta)}{g}\times \cos(\theta)$$
$$= \frac{u^2\times 2\sin(\theta) \cos(\theta)}{g}$$
Usando la sustitución trigonométrica $latex \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, tenemos:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Impacto de diversos factores en el alcance de un proyectil
El alcance de un proyectil depende de varios factores, como la velocidad inicial, el ángulo de lanzamiento y la gravedad.
Efecto de los cambios en la velocidad inicial sobre el alcance
Suponiendo que el ángulo de lanzamiento y la gravedad permanezcan constantes, una mayor velocidad inicial se traduce en un mayor alcance. Esto se debe a que la velocidad inicial proporciona al proyectil su energía cinética inicial, y una mayor velocidad inicial le da más energía para vencer a la gravedad durante una distancia mayor.
Impacto del ángulo de lanzamiento en el alcance
Con una velocidad inicial y una gravedad fijas, el alcance aumenta inicialmente al aumentar el ángulo. Sin embargo, a partir de cierto punto (45 grados en ausencia de resistencia del aire), el alcance empieza a disminuir a medida que el ángulo aumenta. Esto se debe a que una mayor parte de la velocidad inicial se dirige entonces hacia arriba, contrarrestando la gravedad durante más tiempo, pero sin contribuir tanto al movimiento horizontal.
Influencia de la gravedad en el alcance
En un entorno con mayor gravedad, el alcance de un proyectil es menor, suponiendo que el ángulo de lanzamiento y la velocidad inicial sigan siendo los mismos. Esto se debe a que una mayor atracción gravitatoria hace que el proyectil descienda a tierra más rápidamente, reduciendo así la distancia horizontal recorrida.
Alcance máximo a 45 grados
Para una velocidad inicial dada, el alcance máximo de un proyectil se alcanza cuando se lanza con un ángulo de 45 grados. Se trata de un caso especial que resulta del equilibrio entre los componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial.
Cuando se lanza un proyectil, la velocidad inicial se divide en dos componentes: la componente vertical (que contrarresta la gravedad) y la componente horizontal (que contribuye al alcance).
Si el ángulo de lanzamiento es de 45 grados, estos dos componentes son iguales, lo que crea un equilibrio óptimo. De este modo se consigue el máximo alcance, ya que el proyectil se eleva lo suficiente para mantenerse en el aire y, al mismo tiempo, alcanza la velocidad horizontal necesaria para cubrir una gran distancia.
Ejercicios resueltos sobre el alcance de un proyectil
EJERCICIO 1
Un balón de fútbol se lanza con un ángulo de 30° con la horizontal a una velocidad inicial de 25 m/s. ¿Qué distancia recorre el balón horizontalmente? Supongamos que no hay resistencia del aire y tomemos $latex g = 9.8$ m/s².
Solución
Para calcular el alcance del proyectil, necesitamos la velocidad inicial y el ángulo con la horizontal. Como disponemos de esa información, podemos utilizar la ecuación dada arriba:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Utilizando los valores dados:
$$R= \frac{25^2\times \sin(2\times 30^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{625 \times \sin(60^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{625 \times 0.866 }{9.8}$$
$latex R = 55.23$
Entonces, el balón aterrizará aproximadamente a 55.23 metros del punto inicial.
EJERCICIO 2
Una pelota de béisbol es golpeada a una velocidad de 40 m/s con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿Qué distancia recorre la pelota antes de tocar el suelo? Supongamos que no hay resistencia del aire y utilicemos $latex g = 9.8$ m/s².
Solución
Una vez más, podemos utilizar la fórmula para el alcance de un proyectil:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Ahora, sustituimos los valores dados:
$$R= \frac{40^2\times \sin(2\times 30^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{1600 \times \sin(60^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{1600 \times 0.866 }{9.8}$$
$latex R = 141.39$
La pelota de béisbol recorrerá aproximadamente 141.39 metros antes de tocar el suelo.
EJERCICIO 3
Un golfista golpea horizontalmente una pelota de golf con un ángulo de 35° y una velocidad inicial de 60 m/s. ¿Qué distancia horizontal recorrerá la pelota de golf?
Solución
La distancia horizontal de la pelota de golf se puede hallar utilizando la ecuación del alcance:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Utilizando los valores dados:
$$R= \frac{60^2\times \sin(2\times 35^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{3600\times \sin(70^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{3600 \times 0.94 }{9.8}$$
$latex R = 345.31$
La pelota de golf recorrerá aproximadamente 345.31 metros
EJERCICIO 4
Un atleta lanza una jabalina con una velocidad inicial de 33 m/s en un ángulo de 35° respecto a la horizontal. ¿Cuál es el alcance del lanzamiento de jabalina? Supongamos que no hay resistencia del aire.
Solución
Como tenemos la velocidad inicial y el ángulo con la horizontal, podemos sustituir estos valores en la ecuación para el alcance:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
$$R= \frac{33^2\times \sin(2\times 35^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{1089\times \sin(70^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{1089 \times 0.94}{9.8}$$
$latex R = 104.46$
El alcance del lanzamiento de jabalina es de aproximadamente 104.46 metros.
EJERCICIO 5
¿Qué distancia recorre el agua en una fuente que lanza agua a una velocidad de 10 m/s con un ángulo de 40° respecto a la horizontal?
Solución
El alcance del agua de la fuente puede calcularse mediante la ecuación:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Sustituyendo los valores dados:
$$R= \frac{10^2\times \sin(2\times 40^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{100\times \sin(80^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{100 \times 0.985 }{9.8}$$
$latex R = 10.05$
Por lo tanto, el agua recorrerá aproximadamente 10 metros antes de tocar el suelo.
EJERCICIO 6
Un cañón puede disparar una bala de cañón con una velocidad máxima de 500 m/s. ¿Cuál es el alcance máximo de la bala y con qué ángulo debe apuntar el cañón para alcanzar dicho alcance? Ignora la resistencia del aire y toma $latex g = 9.8$ m/s².
Solución
Para obtener el máximo alcance, el cañón debe apuntar en un ángulo de 45° respecto a la horizontal. A partir de este ángulo, calculamos el alcance máximo mediante la fórmula:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
Utilizando los valores dados:
$$R= \frac{500^2\times \sin(2\times 45^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{250000\times \sin(90^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{250000\times 1}{9.8}$$
$latex R = 25510.2$
Por lo tanto, para alcanzar el alcance máximo, el cañón debe apuntarse con un ángulo de 45° respecto a la horizontal, y la bala de cañón recorrerá aproximadamente 25,5 kilómetros.
EJERCICIO 7
Un golfista puede golpear una pelota de golf con una velocidad inicial de 70 m/s. ¿Cuál es el alcance máximo que puede recorrer la pelota de golf? Ignora la resistencia del aire y utiliza $latex g = 9.8$ m/s².
Solución
Como vimos en el último ejemplo, el alcance máximo se puede conseguir haciendo que la pelota de golf se desplace en un ángulo de 45° respecto a la horizontal.
A continuación, utilizamos la fórmula para el alcance de un proyectil con la velocidad inicial dada:
$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$
$$R= \frac{70^2\times \sin(2\times 45^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{4900\times \sin(90^{\circ}) }{9.8}$$
$$= \frac{4900\times 1}{9.8}$$
$latex R = 500$
La pelota de golf tiene un alcance máximo de aproximadamente 500 metros.
Alcance de un proyectil – Problemas de práctica
Un lanzacohetes puede lanzar un cohete con una velocidad máxima de 313.05 m/s. ¿Cuál es el rango máximo que se puede lograr? Suponga que no hay resistencia del aire y tome $latex g = 9.8$ m/s².
Escribe la respuesta sin decimales.
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
