Término general de una progresión geométrica – Paso a paso

El término general de una progresión geométrica puede ser encontrado al multiplicar un número llamado la razón común al término anterior. Entonces, podemos formar una fórmula para encontrar cualquier término de una progresión geométrica usando el valor de un término inicial, la razón común y la posición del término requerido.

A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para encontrar el término general de una progresión geométrica. Luego, aplicaremos esta fórmula para resolver algunos ejemplos.

ÁLGEBRA
Fórmula del término general de una progresión geométrica

Relevante para

Aprender a encontrar el término general de una progresión geométrica.

Ver pasos

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Fórmula del término general de una progresión geométrica

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Aprender a encontrar el término general de una progresión geométrica.

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Pasos para encontrar el término general de una progresión geométrica

Consideremos la progresión de números 2, 6, 18, 54, … Cada término de esta progresión puede ser obtenido del término anterior al multiplicarlo por 3. Este es un ejemplo de una progresión geométrica.

Las progresiones geométricas son progresiones de números en los que cada término puede ser obtenido al multiplicar al término anterior por un número llamado la razón común.

Generalmente, los términos de una progresión geométrica pueden ser obtenidos usando la siguiente fórmula:

$$a_{n}=ar^{n-1}$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término de la progresión.
  • $latex r$ es la razón común.
  • $latex n $ es la posición del término.
Fórmula del término general de una progresión geométrica

Entonces, podemos encontrar el término general de una progresión geométrica con los siguientes pasos.

1. Identificar el valor del primer término.

2. Encontrar el valor de la razón común.

La razón común es encontrada al dividir a cualquier término por su término previo.

3. Aplicar la fórmula del término general.

Usamos los valores del primer término, la razón común y la posición del término en la fórmula $latex a_{n}=ar^{n-1}$.


Ejemplos resueltos del término general de una progresión geométrica

EJEMPLO 1

Si es que una progresión geométrica tiene un primer término igual a 2 y su razón común es 3, encuentra el valor del término 5.

Conocemos los valores del primer término y de la razón común directamente. Entonces, empezamos escribiendo toda la información conocida:

  • $latex a=2$
  • $latex r=3$
  • $latex n=5$

Ahora, podemos aplicar la fórmula del término general de una progresión geométrica:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{5}=(2)(3)^{5-1}$

$latex a_{5}=(2)(3)^4$

$latex a_{5}=(2)(81)$

$latex a_{5}=162$

EJEMPLO 2

¿Cuál es el valor del término 9 de una progresión geométrica en la que su primer término es 5 y su razón común es 2?

Similar al ejemplo anterior, ya conocemos los valores del primer término y la razón común directamente. Entonces, tenemos:

  • $latex a=5$
  • $latex r=2$
  • $latex n=9$

Al usar estos valores en la fórmula del término general de una progresión geométrica, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{9}=(5)(2)^{9-1}$

$latex a_{9}=(5)(2)^8$

$latex a_{9}=(5)(256)$

$latex a_{9}=1280$

EJEMPLO 3

Encuentra el término 7 de una progresión geométrica que empieza con los términos 4, 8, 16 y 32.

En este caso, no conocemos el valor de la razón común directamente, pero conocemos los valores de los primeros cuatro términos.

Entonces, podemos encontrar la razón común al dividir a uno de los términos por su término previo. Por ejemplo, $latex \frac{8}{4}=2$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=4$
  • $latex r=2$
  • $latex n=7$

Usando la fórmula del término general, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{7}=(4)(2)^{7-1}$

$latex a_{7}=(4)(2)^6$

$latex a_{7}=(4)(64)$

$latex a_{7}=256$

EJEMPLO 4

¿Cuál es el término 7 de una progresión geométrica que empieza con los términos 1, -3, 9?

Similar al ejemplo anterior, podemos encontrar la razón común al dividir a cualquier término por su término previo. Por ejemplo, $latex \frac{9}{-3}=-3$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=1$
  • $latex r=-3$
  • $latex n=7$

En este caso, tenemos una razón común negativa, pero simplemente aplicamos la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^{7-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^6$

$latex a_{7}=(1)(729)$

$latex a_{7}=729$

EJEMPLO 5

Encuentra el término 8 de una progresión geométrica que empieza con los términos 81, -54, 36.

La razón común de esta progresión es $latex \frac{36}{-54}=-\frac{2}{3}$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=81$
  • $latex r=-\frac{2}{3}$
  • $latex n=8$

Usando estos valores en la fórmula del término general, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^{8-1}$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^7$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{128}{2187}\right)$$

$$a_{8}=-\frac{10368}{2187}$$

$$a_{8}=-\frac{128}{27}$$

$$a_{8}=-4~\frac{20}{27}$$

EJEMPLO 6

Una progresión geométrica tiene los tres primeros términos $latex 1,~-\frac{1}{3}, ~\frac{1}{9}$. Encuentra el término 6.

La razón común de la progresión dada es $latex \frac{1}{9} \div -\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=1$
  • $latex r=-\frac{1}{3}$
  • $latex n=6$

Usando la fórmula del término general con estos valores, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{6}=(1)\left(-\frac{1}{3}\right)^{6-1}$$

$$a_{6}=(1)\left(-\frac{1}{3}\right)^5$$

$$a_{6}=(1)\left(-\frac{1}{243}\right)$$

$$a_{6}=-\frac{1}{243}$$

Puedes explorar más ejercicios de este tema en nuestro artículo: Ejercicios de término general de una progresión geométrica.


Término general de progresiones geométricas – Ejercicios para resolver

Práctica de término general de progresiones geométricas
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra el término 100 de una progresión geométrica que empieza con los términos 7, -7, 7, …

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex a_{100}=$

Véase también

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