Teorema del residuo – Fórmula y Demostración

El teorema del residuo es un teorema algebraico que nos permite determinar cuál será el residuo si es que dividimos a un polinomio por un dado factor. El teorema del residuo nos dice que cuando dividimos a un polinomio f(x) por (αxβ), el residuo es f(β/α).

A continuación, conoceremos todo lo relacionado con el teorema del residuo. Veremos su fórmula y la forma de demostrar el teorema. Además, veremos algunos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
Fórmula del teorema del residuo

Relevante para

Aprender sobre el teorema del residuo.

Ver teorema

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Fórmula del teorema del residuo

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Aprender sobre el teorema del residuo.

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Enunciado y demostración del teorema del residuo

El teorema del residuo nos dice que cuando dividimos a un polinomio $latex f(x)$ por $latex (\alpha x-\beta)$, el residuo es $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$.

Demostración del teorema del residuo

Podemos demostrar el teorema del residuo al escribir de la siguiente forma:

$$f(x)=(\alpha x-\beta)(\text{Cociente})+(\text{Residuo})$$

Ahora, podemos usar el valor $latex x=\frac{\beta}{\alpha}$, para obtener lo siguiente:

$$f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)=\left[ \alpha \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)-\beta\right](\text{Cociente})+(\text{Residuo})$$

$$=\left[ \beta-\beta\right](\text{Cociente})+(\text{Residuo})$$

$$=\left[ 0 \right](\text{Cociente})+(\text{Residuo})$$

$$=\text{Residuo}$$

Lo cual demuestra que el teorema del residuo es verdadero.


Teorema del residuo – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios aplican el teorema del residuo para encontrar la solución. Cada ejercicio tiene una solución detallada, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra el residuo cuando el polinomio $latex x^3+5x^2-17x-21$ es dividido por $latex x+1$.

El teorema del residuo nos dice que el residuo de la división es $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$. En este caso, tenemos $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)=f(-1)$. Entonces, tenemos:

$$f(-1)=(-1)^3+5(-1)^2-17(-1)-21$$

$latex =-1+5+17-21$

$latex =0$

Esto significa que el residuo es 0. Es decir, la división es exacta.

EJERCICIO 2

Si es que ahora dividimos al polinomio $latex x^3+5x^2-17x-21$ por $latex x-4$, ¿cuál es el residuo?

Por el teorema del residuo, sabemos que el residuo cuando $latex f(x)$ es dividido por $latex x-4$ es $latex f(4)$. Entonces, tenemos:

$$f(4)=(4)^3+5(4)^2-17(4)-21$$

$latex =64+80-68-21$

$latex =55$

El residuo de la división es 55.

EJERCICIO 3

Encuentra el residuo cuando el polinomio $latex x^3+5x^2-17x-21$ es dividido por $latex 2x+1$

El teorema del residuo nos dice que el residuo cuando $latex f(x)$ es dividido por $latex 2x+1$ es $latex f\left(-\frac{1}{2}\right)$. Entonces, tenemos:

$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^3+5\left(-\frac{1}{2}\right)^2-17\left(-\frac{1}{2}\right)-21$$

$latex =-\frac{1}{8}+\frac{5}{4}+\frac{17}{2}-21$

$latex =-\frac{91}{8}$

El residuo de la división es $latex -\frac{91}{8}$.

EJERCICIO 4

Encuentra el residuo cuando el polinomio $latex 6x^3-2x^2+5x-4$ es dividido por x.

Cuando comparamos a x con $latex (\alpha x-\beta)$, vemos que $latex \beta$ es igual a 0. Entonces, usamos $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)=f(0)$ para encontrar el residuo.

$$f(0)=6(0)^3-2(0)^2+5(0)-4$$

$latex =0-0+0-4$

$latex =-4$

El residuo de la división es -4.

EJERCICIO 5

El polinomio $latex 3x^3+bx^2-7x+5$ nos da un residuo de 17 cuando es dividido por $latex x+3$. Encuentra el valor de b.

Usando el teorema del residuo, sabemos que $latex f(-3)=17$. Entonces, tenemos:

$$3(-3)^3+b(-3)^2-7(-3)+5=17$$

$latex -81+9b+21+5=17$

$latex 9b=72$

$latex b=8$

El valor de b es 8.

EJERCICIO 6

Cuando el polinomio $latex f(x)=x^3+ax^2+bx+2$ es dividido por $latex x-1$, el residuo es 4 y cuando es dividido por $latex x+2$, el residuo también es 4. Encuentra los valores de a y b.

Usando el teorema del residuo, sabemos que $latex f(1)=4$. Entonces, tenemos:

$$(1)^3+a(1)^2+b(1)+2=4$$

$latex 1+a+b+2=4$

$latex a+b=1$

Ahora, usamos el teorema del residuo con $latex f(-2)=4$ y tenemos:

$$(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+2=4$$

$latex -8+4a-2b+2=4$

$latex 4a-2b=10$

Dividiendo por 2 a la última ecuación, tenemos:

$latex 2a-b=5$

Formando un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones encontradas y resolviendo, tenemos $latex a=2$ y $latex b=-1$.

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Teorema del residuo – Ejercicios para resolver

Usa el teorema del residuo para resolver los siguientes ejercicios. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

Encuentra el residuo cuando el polinomio $latex 6x^2+5x-1$ es dividido por $latex x-1$.

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¿Cuál es el residuo cuando $latex 3x^3+2x-4$ es dividido por $latex x-2$?

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Encuentra el residuo de la división de $latex 3x^2+6x-8$ por $latex x+3$.

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¿Cuál es el residuo cuando dividimos a $latex 2x^3+4x^2-6x+5$ por $latex x-1$?

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Cuando dividimos a $latex 2x^3-3x^2+ax-5$ por $latex x-2$, el residuo es 7. Encuentra el valor de a.

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Véase también

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