Teorema del Binomio Ejemplos Resueltos

El teorema del binomio o también conocido como el teorema de Newton es una forma relativamente rápida para expandir expresiones binomiales que están elevadas a una potencia. En este artículo, aprenderemos cómo usar el teorema del binomio y miraremos ejemplos resueltos para facilitar el entendimiento.

Además, también veremos una fórmula para calcular un término específico en una expansión de binomios.

ÁLGEBRA
propiedades del triángulo de pascal

Relevante para

Aprender a usar el teorema del binomio.

Ver ejemplos

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¿Qué es una expresión binomial?

Una expresión binomial es una expresión algebraica que contiene dos términos unidos por un signo o bien sea de adición o de sustracción. Por ejemplo, (2+x) o (x-4) son ejemplos de expresiones binomiales.

Muchas veces, estas expresiones binomiales tienen exponentes y tal vez necesitemos expandirlas completamente:

$latex {{(x+y)}^0}=1$

$latex {{(x+y)}^1}=x+y$

$latex {{(x+y)}^2}={{x}^2}+2xy+{{y}^2}$

$latex {{(x+y)}^3}={{x}^3}+3{{x}^2}y+3x{{y}^2}+{{y}^3}$

$${{(x+y)}^4}={{x}^4}+4{{x}^3}y+6{{x}^2}{{y}^2}+4x{{y}^3}+{{y}^4}$$

Podemos ver que a medida que el exponente se vuelve más grande, la expansión de estas expresiones se vuelve más tedioso y esto no es viable para expresiones con exponentes muy grandes.

A continuación, vamos a aprender a usar el teorema del binomio para expandir expresiones binomiales sin la necesidad de tener que multiplicar cada uno de los términos individualmente.


¿Qué es el teorema del binomio?

El teorema del binomio nos indica la expansión algebraica de exponentes de un binomio. Es decir, el teorema del binomio nos muestra cómo expandir un polinomio de la forma $latex {{(a+b)}^n}$ para obtener todos sus términos.

Por ejemplo, si queremos expandir la expresión $latex {{(2x+y)}^5}$, necesitaríamos multiplicar al binomio $latex (2x+y)$ cinco veces, lo cual tomaría mucho tiempo. El teorema del binomio nos permite tomar un atajo al usar una fórmula para expandir esta expresión.

Con el teorema del binomio, es posible expandir la potencia $latex {{(x+y)}^n}$ para formar una suma de términos con la forma $latex a{{x}^b}{{y}^c}$, en donde los exponentes b y c son no-negativos y suman $latex b+c=n$. Por ejemplo, consideremos la siguiente expresión:

$${{(x+y)}^4}={{x}^4}+4{{x}^3}y+6{{x}^2}{{y}^2}+4x{{y}^3}+{{y}^4}$$

El coeficiente a en cualquier término $latex a{{x}^b}{{y}^c}$ de la versión expandida es conocido como el coeficiente binomial. El coeficiente binomial también es usado en combinatorias, en donde podemos obtener el número de diferentes combinaciones de b elementos que pueden ser escogidas de un conjunto de n elementos. Esto también puede ser escrito como $latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ b \end{array}} \right)$. 

Con el teorema del binomio, podemos expandir cualquier potencia de $latex (x+y)$ con una suma de la siguiente forma:

$${{\left( {x+y} \right)}^{n}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \end{array}} \right){{x}^{n}}{{y}^{0}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{{n-1}}}{{y}^{1}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{{n-2}}}{{y}^{2}}+\ldots +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right){{x}^{1}}{{y}^{{n-1}}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \end{array}} \right){{x}^{0}}{{y}^{n}}$$

En donde cada valor $latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)$ es un número entero positivo conocido como el coeficiente binomial.

Teorema del binomio con el triángulo de Pascal

Una alternativa para encontrar los coeficientes de los términos en una expansión binomial es el triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal es particularmente útil para expansiones binomiales con coeficientes pequeños.

teorema del binomio con el triángulo de pascal

Las filas del triángulo de Pascal están enumeradas empezando con la fila $latex n=0$ en la parte superior. En la fila 0, tenemos solo al número 1. Para construir los elementos de las siguientes filas, sumamos los dos números que están arriba para formar el nuevo valor. Cuando no tenemos números en la parte superior, reemplazamos con el cero. Por ejemplo, cada número en la fila 1 es 0+1=1.


¿Cómo se usa el teorema del binomio?

Para usar el teorema del binomio para expandir un binomio de la forma $latex {{(a+b)}^n}$, necesitamos recordar lo siguiente:

  • Los exponentes del primer término (a) decrecen de n a cero.
  • Los exponentes del segundo término (b) incrementan de cero a n.
  • La suma de los exponentes de a y es igual a n.
  • Los coeficientes del primero y del último término son ambos igual a 1.

Usemos el teorema del binomio para expandir varias expresiones y entender el teorema:

EJEMPLO 1

Expande el binomio $latex {{(x+y)}^5}$ usando el triángulo de Pascal.

Solución: Podemos observar que la fila 5 del triángulo de Pascal es 1, 5, 10, 10, 5, 1. Usando estos números para la expansión binomial, tenemos:

$${{(x+y)}^5}={{x}^5}+5{{x}^4}y+10{{x}^3}{{y}^2}$ $latex +10{{x}^2}{{y}^3}+5x{{y}^4}+{{y}^5}$$

EJEMPLO 2

Expande el binomio $latex {{(x+y)}^4}$ usando combinatorias.

Solución: Esto puede ser expandido de la siguiente manera:

$latex =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} \right){{x}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{3}}y+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $latex +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)x{{y}^{3}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 4 \end{array}} \right){{y}^{4}}$

Recordamos que tanto $latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} \right)$ como $latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 4 \end{array}} \right)$ son equivalentes a 1 ya que sólo hay una forma de escoger 0 y 4 elementos de un conjunto de 4 elementos. Entonces, tenemos: 

$$={{x}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{3}}y+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{2}}{{y}^{2}} +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$$

Ahora evaluamos cada una de las combinatorias restantes:

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{1!\left( {4-1} \right)!}}=\frac{{4!}}{{1!\left( 3 \right)!}}=4$

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{2!\left( {4-2} \right)!}}=\frac{{4!}}{{2!\left( 2 \right)!}}=6$

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{3!\left( {4-3} \right)!}}=\frac{{4!}}{{3!\left( 1 \right)!}}=4$

Al sustiruir estos números en la expresión, tenemos: 

$latex {{x}^4}+4{{x}^3}y+6{{x}^2}{{y}^2}+4x{{y}^3}+{{y}^4}$


¿Cómo se calcula un término en el binomio de Newton?

Tal vez haya ocasiones en las que queremos identificar un término específico en la expansión de $latex {{(x+y)}^n}$. Esto resulta fácil para las veces que tenemos que el valor de n es pequeño, pero cuando tenemos binomios como $latex {{(x+y)}^9}$, esto resulta más desafiante.

Afortunadamente, podemos usar una fórmula para esto. El término r de la expansión binomial puede ser encontrado con la fórmula:

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {r-1} \end{array}} \right){{a}^{{n-\left( {r-1} \right)}}}{{b}^{{r-1}}}$

EJEMPLO

Encuentra el quinto término de $latex {{(3x-4)}^{{12}}}$.

Solución: Aquí tenemos $latex n=12$. Usamos $latex r=5$ ya que estamos buscando el quinto término. Al usar la fórmula con estos valores, tenemos:

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 12 \\ {5-1} \end{array}} \right){{3x}^{{12-\left( {5-1} \right)}}}{{(-4)}^{{5-1}}}$

$latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12} \\ 4 \end{array}} \right){{\left( {3x} \right)}^{8}}{{\left( {-4} \right)}^{4}}$

Podemos encontrar el valor de $latex \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12} \\ 4 \end{array}} \right)$ usando la fórmula de combinatorias:

$latex \frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}=\frac{{12!}}{{\left( {12-4} \right)!4!}}$

$latex =495$

Entonces, tenemos: 

$latex 495{{(3x)}^8}{{(-4)}^4}$

Al expandir esto completamente, tenemos: 

$latex 831409920{{x}^8}$


Véase también

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