Los ángulos verticales son formados en la intersección de dos líneas. El teorema de ángulos verticales nos dice que los ángulos verticales formados en una intersección son iguales. Además, un ángulo vertical y su ángulo adyacente son ángulos suplementarios, ya que suman 180 grados.

A continuación, miraremos definiciones detalladas de los ángulos verticales y del teorema de ángulos verticales. Luego, conoceremos cómo derivar este teorema y lo aplicaremos para resolver algunos ejemplos de práctica.

GEOMETRÍA
ángulos opuestos por el vértice

Relevante para

Aprender sobre el teorema de ángulos verticales.

Ver teorema

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ángulos opuestos por el vértice

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¿Qué son los ángulos verticales?

Los ángulos verticales son formados en las intersecciones de dos líneas. Estos ángulos también son comúnmente conocidos como ángulos opuestos por el vértice.

Recordemos que las líneas intersecantes son líneas que se cruzan la una a la otra en un punto específico. El siguiente es un diagrama de líneas intersecantes:

lineas intersecantes

Podemos ver que las líneas AB y CD se encuentran en el punto P. Entonces, estas líneas son intersecantes.

Por otra parte, las líneas paralelas son líneas nunca se cruzan la una con la otra, tal como tenemos en el siguiente diagrama:

líneas paralelas

Las líneas paralelas no forman ángulos verticales.

Dos pares de ángulos verticales son formados en la intersección de dos líneas, tal como en el siguiente diagrama:

ángulos opuestos por el vértice

En este diagrama:

  • ∠a y ∠b son ángulos verticales.
  • ∠c y ∠d son ángulos verticales.

¿Qué es el teorema de ángulos verticales?

El teorema de ángulos verticales nos dice que, «los ángulos verticales formados por la intersección de dos líneas son iguales.»

Entonces, los ángulos verticales siempre son iguales el uno con el otro.

ángulos opuestos por el vértice

Por lo tanto, en este diagrama, tenemos:

  • ∠a = ∠b.
  • ∠c = ∠d.

Prueba del teorema de ángulos verticales

En el siguiente diagrama, podemos ver las líneas AB y CD, las cuales se intersecan en el punto O. La intersección de líneas forma dos pares de ángulos verticales:

  • ∠1 y ∠ 2 (ángulos azules)
  • ∠3 y ∠4 (ángulos rosas)
teorema de ángulos verticales

En el diagrama, vemos que el rayo OA está ubicado en la línea CD. Entonces, podemos usar el axioma de pares lineales, el cual nos dice que si un rayo se ubica en una línea, los ángulos adyacentes forman un par lineal de ángulos.

Es decir, sabemos que los ángulos que forman una línea recta deben sumar 180°. Entonces, tenemos:

∠1 + ∠3 = 180° (par lineal)

De igual forma, también tenemos:

∠3 + ∠2 = 180° (par lineal)

Dado que ambas ecuaciones son iguales a 180°, podemos combinarlas para obtener:

∠1 + ∠3 = ∠3 + ∠2

∠1  = ∠2

Esto significa que los ángulos verticales ∠1 y ∠2 son iguales. Entonces, hemos probado el teorema de ángulos verticales.


Ejemplos del teorema de ángulos verticales

Los siguientes ejemplos son resueltos aplicando el teorema de los ángulos verticales.

EJEMPLO 1

Determina las medidas de los ángulos a, b y en el siguiente diagrama:

ejercicio 1 de ángulos verticales opuestos

Solución: Vemos que los ángulos ∠50° y ∠b son un par de ángulos verticales, por lo que tenemos:

∠b = 50°

Ahora, podemos encontrar el valor de ∠a al considerar que es un ángulo suplementario al ángulo ∠50°, por lo que tenemos:

50°+∠a = 180°

∠a = 130°

Los ángulos ∠a y ∠c son otro par de ángulos verticales, por lo que tenemos:

∠c = 130°

EJEMPLO 2

Encuentra el valor de Y en el siguiente diagrama:

ejercicio 2 de ángulos verticales opuestos

Solución: Podemos ver que los ángulos ∠100° y ∠X forman una línea recta, por lo que son suplementarios. Entonces, tenemos:

100°+∠X = 180°

∠X = 80°

Además, sabemos que los ángulos (Y+30)° y X son verticales opuestos, por lo que tenemos:

Y+30 = 80

Y = 50°

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EJERCICIO 3

Tenemos que los ángulos (4x-15)° y (3x+22)° son ángulos verticales opuestos. Determina el valor de x y de los ángulos dados.

Solución: Los ángulos verticales opuestos son iguales, por lo que tenemos:

4x-15 = 3x+22

4x-3x = 22+15

x = 37

El valor de los ángulos dados es:

4(37)-15 = 133°


Véase también

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