Suma de progresiones geométricas – Fórmula y Ejemplos

Las progresiones geométricas son formadas al multiplicar a cada término por la razón común. Para encontrar la suma de estas progresiones, necesitamos los valores del primer término, la razón común y el número de términos. Así, podemos aplicar la fórmula de la suma.

A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para encontrar la suma de una progresión geométrica. Luego, resolveremos algunos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
Fórmula de la suma de una progresión geométrica

Relevante para

Aprender a encontrar la suma de una progresión geométrica.

Ver fórmulas

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Fórmula de la suma de una progresión geométrica

Relevante para

Aprender a encontrar la suma de una progresión geométrica.

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Fórmulas para la suma de una progresión geométrica

Una progresión geométrica es una progresión en la que cada uno de sus términos es formado al multiplicar al término anterior por un número llamado la razón común.

Podemos encontrar la suma de los primeros $latex n$ términos de una progresión geométrica usando la siguiente fórmula:

$$S_{n}=a\left( \frac{1-r^n}{1-r}\right)$$

Alternativamente, podemos escribir a la fórmula de la siguiente forma:

$$S_{n}=a\left( \frac{r^n-1}{r-1}\right)$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término de la progresión.
  • $latex r$ es la razón común.
  • $latex n $ es el número de términos.
Fórmula de la suma de una progresión geométrica

Demostración de la fórmula de la suma de progresiones geométricas

Cada término de una progresión geométrica es obtenido al multiplicar al término anterior por la razón común $latex r$. Entonces, podemos escribir lo siguiente:

$$S_{n}=a+ar+ar^2+…+ar^{n-1}$$

Esta es la ecuación [1]. Si es que multiplicamos a ambos lados de la ecuación por $latex r$, tenemos:

$$rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+…+ar^n$$

Esta es la ecuación [2]. Si es que restamos a ecuación [2] de la ecuación [1], tenemos:

$$S_{n}-rS_{n}=(a+ar+…+ar^{n-1})-(ar+ar^2+…+ar^n)$$

Simplificando, tenemos:

$$S_{n}(1-r)=a-ar^n$$

$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Podemos obtener la versión alternativa si es que multiplicamos tanto al numerador, como al denominador de esta fórmula por -1:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$


Ejemplos resueltos de la suma de progresiones geométricas

EJEMPLO 1

Encuentra la suma de los primeros cuatro términos de una progresión geométrica en la que el primer término es igual a 4 y la razón común es igual a 2.

Empezamos escribiendo la información que conocemos:

  • $latex a=4$
  • $latex r=2$
  • $latex n=4$

Ahora, usamos la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{4}=\frac{4(2^4-1)}{2-1}$$

$$=\frac{4(16-1)}{1}$$

$$=\frac{4(15)}{1}$$

$$S_{4}=60$$

EJEMPLO 2

¿Cuál es la suma de los primeros 5 términos de una progresión geométrica en la que el primer término es igual a -5 y la razón común es -2?

Tenemos la siguiente información:

  • $latex a=-5$
  • $latex r=-2$
  • $latex n=5$

Aplicando la fórmula de la suma de progresiones geométricas, tenemos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{5}=\frac{-5((-2)^5-1)}{-2-1}$$

$$=\frac{-5(-32-1)}{-3}$$

$$=\frac{-5(-33)}{-3}$$

$$=\frac{165}{-3}$$

$$S_{5}=-55$$

EJEMPLO 3

Una progresión geométrica tiene un primer término igual a 1 y una razón común igual a $latex \frac{1}{4}$. Encuentra la suma de los primeros cuatro términos.

Tenemos la siguiente información:

  • $latex a=1$
  • $latex r=\frac{1}{4}$
  • $latex n=4$

Cuando usamos la fórmula de la suma de progresiones geométricas, tenemos:

$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$$S_{4}=\frac{1(1-(\frac{1}{4})^4)}{1-\frac{1}{4}}$$

Podemos factorizar el numerador usando la diferencia de cuadrados dos veces:

$$S_{4}=\frac{(1-(\frac{1}{4})^2)(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$

$$=\frac{(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$

$$=\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+(\frac{1}{4})^2\right)$$

$$=\left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{17}{16}\right)$$

$$S_{4}=\frac{85}{64}$$

EJEMPLO 4

Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la progresión geométrica que empieza con 3, 6, 12, …

En este caso, no conocemos el valor de la razón común directamente, pero solo tenemos que dividir a un término por su término previo para encontrarlo: 6/3=2. Entonces, tenemos:

  • $latex a=3$
  • $latex r=2$
  • $latex n=10$

Usando la fórmula de la suma con los valores dados, tenemos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}$$

$$=\frac{3(1024-1)}{1}$$

$latex =3(1023)$

$latex S_{10}=3069$

EJEMPLO 5

Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica que empieza con los términos -2, 8, -32, …

Similar al ejemplo anterior, empezamos encontrando la razón común. Entonces, tenemos 8/-2=-4. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

  • $latex a=-2$
  • $latex r=-4$
  • $latex n=6$

Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica, tenemos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{6}=\frac{-2((-4)^6-1)}{-4-1}$$

$$=\frac{-2(4096-1)}{-5}$$

$$=\frac{-2(4095)}{-5}$$

$latex S_{6}=1638$

EJEMPLO 6

Encuentra la suma de la siguiente progresión geométrica:

$$3+6+12+…+384$$

En este caso, no conocemos ni la razón común, ni el número de términos. Entonces, empezamos encontrando la razón común: 6/3=2.

Para encontrar el número de términos, podemos usar la fórmula del término general de una progresión geométrica, $latex a_{n}=ar^{n-1}$ y resolvemos para $latex n$:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex 384=(3)(2)^{n-1}$

$latex 128=2^{n-1}$

$$128=\frac{2^n}{2^1}$$

$latex 256=2^n$

$latex n=\log_{2}(256)$

$latex n=8$

Ahora, usamos la fórmula de la suma con los valores encontrados:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{8}=\frac{3(2^8-1)}{2-1}$$

$$=\frac{3(256-1)}{1}$$

$latex =3(255)$

$latex S_{8}=765$

Puedes explorar ejercicios adicionales de este tema en nuestro artículo: Ejercicios de suma de progresiones geométricas.


Suma de progresiones geométricas – Ejercicios para resolver

Práctica de suma de progresiones geométricas
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra la suma de la siguiente progresión geométrica $$7-14+28-…+448$$

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex S=$

Véase también

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