En este artículo, miraremos varios ejercicios de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Usaremos el método de eliminación y el método de sustitución para resolver los sistemas. Empezaremos con una revisión rápida de estos métodos y luego miraremos varios ejemplos resueltos.

ÁLGEBRA
ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Resolver ejercicios de sistemas de ecuaciones con dos métodos.

Ver ejercicios

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ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Resolver ejercicios de sistemas de ecuaciones con dos métodos.

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Sistemas de ecuaciones y soluciones

Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de dos o más ecuaciones, las cuales tienen que ser resueltas simultáneamente. En este artículo, nos enfocaremos totalmente en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y resolveremos ejercicios solo con estos sistemas.

Solución a un sistema

Para que un par ordenado sea una solución a un sistema de ecuaciones, tiene que satisfacer ambas ecuaciones al mismo tiempo. Si es que un par ordenado es una solución para una ecuación, pero no para la otra, entonces no es una solución al sistema de ecuaciones.

Un sistema que tiene por lo menos una solución es denominado un sistema consistente.

Un sistema que no tiene soluciones es denominado un sistema inconsistente.

Hay tres posibles resultados que podemos encontrar en los sistemas de ecuaciones:

1. Una solución: cuando las líneas de las ecuaciones intersecan en un solo punto.

2. Ninguna solución: cuando las líneas de las ecuaciones son paralelas.

3. Infinitas soluciones: cuando la línea de una ecuación se sobrepone a la línea de la otra ecuación.


Método de sustitución

Sigue los siguientes pasos para resolver los ejercicios de sistemas de ecuaciones con el método de sustitución:

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Remover paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

No importa cuál ecuación escojamos o para cuál variable resolvamos.

Paso 3: Sustituir la expresión del paso 2 en la otra ecuación.

Al realizar esto, obtendremos una ecuación con una sola incógnita.

Paso 4: Resolver para la variable que tenemos restante.

Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar nuestra guía sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 5: Resolver para la otra variable.

Sustituimos el valor obtenido en el paso 4 en cualquier ecuación y resolvemos.

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Sustituimos los valores en las ecuaciones y verificamos el resultado.

EJEMPLO 1

Resuelve con el método de sustitución:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x-y=2} \\ {y=4x-1} \end{array}} \right..

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

La segunda ecuación ya está resuelta para la variable y:

y=4x-1

Paso 3: Sustituye la expresión del paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión y=4x-1 en la primera ecuación: 

5x-y=2

5x-(4x-1)=2

5x-4x+1=2

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

5x-4x+1=2

x=1

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos x=1 en la segunda ecuación: 

y=4x-1

y=4(1)-1

y=3

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 2

Resuelve con el método de sustitución: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x+y=11} \\ {2x-y=-1} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

Resolvemos la segunda ecuación para y:

2x-y=-1

y=2x+1

Paso 3: Sustituye la expresión del paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión y=2x+1 en la primera ecuación: 

3x+y=11

3x+2x+1=11

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

3x+2x+1=11

5x=10

x=2

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituímos x=2 en la segunda ecuación: 

2x-y=-1

2(2)-y=-1

4-y=-1

y=5

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 3

Resuelve con el método de sustitución: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x-2y=15} \\ {3x+2y=25} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

Resolvemos la segunda ecuación para y:

3x+2y=25

2y=25-3x

y=\frac{{25}}{2}-\frac{3}{2}x

Paso 3: Sustituye la expresión del paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión y=\frac{{25}}{2}-\frac{3}{2}x en la primera ecuación: 

4x-2y=15

4x-2(\frac{{25}}{2}-\frac{3}{2}x)=15

4x-25+3x=15

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

4x-25+3x=15

7x=35

x=5

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos x=5 en la segunda ecuación: 

3x+2y=25

3(5)+2y=25

2y=25-15

y=5

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 4

Resuelve con el método de sustitución: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x+3y=-9} \\ {2x-2y=-12} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Podemos simplificar la primera ecuación al dividirla por 3: 2x+y=-3.

Podemos simplificar la segunda ecuación al dividirla por 2: x-y=-6.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

Resolvemos la primera ecuación para y:

2x+y=-3

y=-3-2x

Paso 3: Sustituye la expresión del paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión y=-3-2x en la segunda ecuación: 

x-y=-6

x-(-3-2x)=-6

x+3+2x=-6

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

x+3+2x=-6

3x=-9

x=-3

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituímos x=-3 en la segunda ecuación: 

x-y=-6

-3-y=-6

-y=-3

y=3

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Resuelve el sistema 4x-y=4, y=x+2.

Escoge una respuesta






Resuelve el sistema -3x+y=6, 2x-y=-3.

Escoge una respuesta







Método de eliminación

Sigue los siguientes pasos para resolver los ejercicios de sistemas de ecuaciones con el método de sustitución:

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar a las ecuaciones en la forma Ax+By=C.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para crear coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Vamos a sumar las ecuaciones y tenemos que lograr que una de las variables desaparezca. Podemos lograr esto con coeficientes opuestos, ya que su suma es 0.

Por ejemplo, si tenemos 3en la primera ecuación y 2x en la segunda ecuación, podemos multiplicar por -2 la primera y por 3 la segunda, de ese modo obtenemos -6 en la primera y 6 en la segunda.

Paso 3: Suma las ecuaciones.

Una de las variables será eliminada y obtendremos una ecuación con una sola incógnita.

Paso 4: Resuelve para la variable restante.

Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar nuestra guía sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituye el valor que encontraste en el paso 4 en cualquiera de las dos ecuaciones y resuelve para la otra variable.

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 1

Resuelve con el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x+3y=15} \\ {-3x+y=-3} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas y en la forma Ax+By=C.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Ya tenemos coeficientes opuestos en la variable x.

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

3x+3y=15

+  \hspace{1cm}    -3x+y=-3               

___________________

4y=12

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

4y=12

y=3

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos y=3 en la primera ecuación: 

3x+3y=15

3x+3(3)=15

3x+9=15

3x=6

x=2

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 2

Resuelve con el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-2x+y=9} \\ {-3x-2y=3} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas y en la forma Ax+By=C.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Multiplicamos la primera ecuación por 2 para eliminar la y:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-4x+2y=18} \\ {-3x-2y=3} \end{array}} \right.

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

-4x+2y=18

+  \hspace{1cm}    -3x-2y=3               

___________________

-7x=21

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

-7x=21

x=-3

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos x=-3 en la primera ecuación: 

-2x+y=9

-2(-3)+y=9

6+y=9

y=3

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 3

Resuelve con el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=4y+5} \\ {2(x+2)+3y=3} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x-4y=5} \\ {2x+3y=1} \end{array}} \right.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 para eliminar la x:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-2x+8y=-10} \\ {2x+3y=1} \end{array}} \right.

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

-2x+8y=10

+  \hspace{1cm}    2x+3y=1               

___________________

11x=11

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

11x=11

x=1

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos x=1 en la primera ecuación: 

x=4y+5

1=4y+5

-4y=4

y=-1

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 4

Resuelve con el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+2y=20} \\ {-3x+3y=0} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C.

Podemos simplificar ambas ecuaciones: dividimos por 2 la primera y por 3 la segunda:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x+y=10} \\ {-x+y=0} \end{array}} \right.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Ya tenemos coeficientes opuestos en la x:

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

x+y=10

+  \hspace{1cm}    -x+y=0               

___________________

2y=10

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

2y=10

y=5

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos y=5 en la segunda ecuación: 

-x+y=0

-x+5=0

x=5

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Resuelve el sistema -2x-2y=2, x+2y=1.

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Resuelve el sistema 3x-2y=7, 2x+y=14.

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Véase también

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