Secciones Cónicas – Fórmulas y Diagramas

Las secciones cónicas son obtenidas por la intersección de la superficie de un cono con un plano. Podemos tener cuatro tipos de secciones cónicas que son definidas basándose en el ángulo formado entre el plano y la base del cono. Los cuatro tipos de secciones cónicas son el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola.

A continuación, conoceremos más detalles sobre cada una de las diferentes secciones cónicas. Descubriremos cuáles son sus fórmulas y usaremos diagramas para ilustrarlas. Finalmente, revisaremos el concepto de excentricidad, la cual es una característica importante de las secciones cónicas.

PRECÁLCULO
secciones cónicas

Relevante para

Aprender sobre las diferentes secciones cónicas.

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¿Qué son las secciones cónicas?

Las secciones cónicas son las curvas generadas por un plano que interseca a un cono. Los tres tipos de secciones cónicas son la elipse, la parábola y la hipérbola. El círculo es un tipo de elipse, pero frecuentemente es considerado el cuarto tipo de sección cónica.

Las secciones cónicas son generadas por la intersección de un plano con un cono. Si es que el plano es paralelo al eje de revolución (eje y), entonces, la intersección formará una hipérbola. Si es que el plano es paralelo a un lado del cono (línea generadora), la intersección formará una parábola.

Si es que el plano es perpendicular al eje de revolución, la intersección formará un círculo. Si es que el plano interseca al cono a un ángulo con respecto al eje, la intersección formará una elipse.

secciones cónicas

Parámetros de una sección cónica

Los siguientes son algunos de los parámetros más importantes definidos en las secciones cónicas:

Focos: Los focos son dos puntos fijos que definen a la sección cónica.

Directriz: La directriz es una línea recta que también define a la sección cónica.

Excentricidad: La excentricidad es un parámetro que determina la forma que tendrá la sección cónica. Este parámetro depende de la longitud del semieje mayor y la longitud del semieje menor.

Parámetro focal: El parámetro focal es la distancia desde el foco hasta la directriz correspondiente.

Eje mayor: Segmento que une a los dos vértices. En una elipse, el eje mayor es el diámetro más largo.

Eje menor: Segmento que une a los covértices. El eje menor es perpendicular al eje mayor.


Excentricidad de secciones cónicas

La excentricidad es un parámetro que es asociado con todas las secciones cónicas. La excentricidad define a la forma que tiene la sección cónica y puede ser pensada como una medida de cuánto se desvía de ser circular.

La excentricidad está definida por c dividido por a, en donde, c es la longitud desde el centro hasta el foco y a es la longitud desde el centro hasta el vértice. El valor de e es constante para cualquier sección cónica. Por lo tanto, el valor de e puede ser usado para determinar el tipo de sección cónica:

  • Si es que $latex e=0$, tenemos un círculo
  • Si es que $latex e\leq 0<1$, tenemos una elipse
  • Si es que $latex e=1$, tenemos una parábola
  • Si es que $latex e>1$, tenemos una hipérbola

Un círculo es definido como un tipo especial de una elipse con excentricidad de 0. Dos secciones cónicas tienen la misma figura sólo si es que su excentricidad es la misma.


Sección cónica – Círculo

Los círculos son formados cuando el plano que corta al cono es paralelo a la base del cono. La intersección produce un conjunto de puntos que tienen la misma distancia desde un punto común, la cual es la definición de un círculo.

Todos los círculos tienen un punto central, llamado el centro, y un radio, la cual es la distancia desde el centro hasta cualquier punto en el círculo. Además, los círculos tienen una excentricidad de $latex e=0$. En el plano cartesiano, la forma general de la ecuación del círculo es:

$latex {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}$

en donde, $latex (h, k)$ es el centro del círculo y r es el radio.

diagrama de circunferencia con centro y radio

Sección cónica – Elipse

Las elipses son obtenidas cuando el ángulo del plano relativo al cono se encuentra entre la superficie exterior del cono y la base del cono. Esta definición también incluye el caso en el que el plano es paralelo a la base del cono, por lo que los círculos son un caso especial de elipses.

Las elipses tienen las siguientes características:

  • El eje mayor es el diámetro más largo de la elipse
  • El eje menor es el diámetro más corto de la elipse
  • El centro es la intersección de los dos ejes
  • Tienen dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto en la elipse hasta los dos focos es constante

Las elipses pueden tener la excentricidad $latex 0\leq e <1$. Vemos que el valor de 0 está incluido (un círculo), pero el 1 no está incluido, ya que es la excentricidad de una parábola. Cuando el eje mayor es paralelo al eje x, la ecuación general de una elipse es:

$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$

en donde, $latex (h, k)$ es el centro, 2a es la longitud del eje mayor y 2b es la longitud del eje menor.

coordenadas de elipse horizontal con centro fuera del origen

Sección cónica – Parábola

Las parábolas son formadas cuando el plano es paralelo a los lados del cono. Esto resulta en una curva con forma de «U». Las parábolas tienen las siguientes características:

  • El vértice es el punto en el que la curva cambia de dirección
  • El foco es el punto que se encuentra en la parte interna de la parábola y el que le da la forma a la curva
  • La directriz es la línea que se encuentra en la parte exterior de la parábola y que también la define
  • El eje de simetría es la línea que conecta al vértice y al foco y divide a la parábola en dos partes iguales

Las parábolas tienen la excentricidad $latex e=1$. Dado que todas las parábolas tienen la misma excentricidad, tienen características muy similares y pueden ser transformadas con un cambio de posición y escalamientos.

Las parábolas pueden ser representadas por funciones cuadráticas como:

$latex f(x)={{x}^2}$
vértice de una parábola con ecuación

Sección cónica – Hipérbola

Las hipérbolas son formadas cuando el plano es paralelo al eje central del cono. Esto significa que el plano corta a ambas bases del cono. Las hipérbolas están compuestas de dos ramas y tienen las siguientes características:

  • Las asíntotas son dos líneas rectas a las que la curva se acerca, pero nunca toca
  • El centro es la intersección de las dos asíntotas
  • Los dos focos son los puntos fijos, los cuales definen a la forma de cada rama
  • Los dos vértices son los puntos que se ubican uno en cada rama y en donde cada rama cambia de dirección

La excentricidad de la hipérbola es igual a $latex e>1$. Una hipérbola que tiene a los vértices en una línea horizontal tiene la ecuación general:

$latex \frac{{{(x-h}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$

en donde, $latex (h, k)$ es el centro, 2a es la longitud del segmento que conecta a los vértices y 2b es la longitud del segmento que conecta a los covértices.

coordenadas de los elementos de una hiperbola vertical con centro fuera del origen

Fórmulas de las secciones cónicas

Las siguientes son las fórmulas de los diferentes tipos de secciones cónicas:

Círculo$latex {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}$Centro: (h, k)
Radio: r
Elipse horizontal$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$Centro: (h, k)
Longitud eje mayor: 2a
Longitud eje menor: 2b
Elipse vertical$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$Centro: (h, k)
Longitud eje mayor: 2a
Longitud eje menor: 2b
Parábola horizontal$latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$Vértice: (h, k)
Foco: (h+p, k)
Parábola vertical$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$Vértice: (h, k)
Foco: (h, k+p)
Hipérbola horizontal$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$Centro: (h, k)
Distancia entre vértices: 2a
Distancia entre covértices: 2b
Hipérbola vertical$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$Centro: (h, k)
Distancia entre vértices: 2a
Distancia entre covértices: 2b
Círculo$latex {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}$
Elipse horizontal$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Elipse vertical$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$
Parábola horizontal$latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$
Parábola vertical$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$
Hipérbola horizontal$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Hipérbola vertical$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$

Véase también

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